Theorem minveclem14 8558

Description: Lemma for minvecex 8578.

Hypotheses

Ref	Expression
minvec10.1	|- R = {x | E.y e. Y x = -u(N` (AMy))}
minvec10.u	|- U e. CPreHil
minvec10.m	|- M = (-v` U)
minvec10.n	|- N = (norm` U)
minvec10.x	|- X = (Base` U)
minvec10.w1	|- W e. (SubSp` U)
minvec10.y	|- Y = (Base` W)
minvec10.a	|- A e. X
minvec12.2	|- P = -usup(R, RR, < )

Assertion

Ref	Expression
minveclem14	|- 0 <_ P

Distinct variable groups:   x,y,A   x,M,y   x,N,y   x,U,y   x,W,y   x,Y,y

Proof of Theorem minveclem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 5440	. . . 4 |- 0 e. RR
2		visset 1813	. . . . . . 7 |- a e. V
3		eqeq1 1481	. . . . . . . 8 |- (x = a -> (x = -u(N` (AMy)) <-> a = -u(N` (AMy))))
4	3	rexbidv 1664	. . . . . . 7 |- (x = a -> (E.y e. Y x = -u(N` (AMy)) <-> E.y e. Y a = -u(N` (AMy))))
5		minvec10.1	. . . . . . 7 |- R = {x | E.y e. Y x = -u(N` (AMy))}
6	2, 4, 5	elab2 1901	. . . . . 6 |- (a e. R <-> E.y e. Y a = -u(N` (AMy)))
7		pm3.27 323	. . . . . . . 8 |- ((y e. Y /\ a = -u(N` (AMy))) -> a = -u(N` (AMy)))
8		minvec10.u	. . . . . . . . . . . 12 |- U e. CPreHil
9		minvec10.w1	. . . . . . . . . . . 12 |- W e. (SubSp` U)
10		minvec10.y	. . . . . . . . . . . 12 |- Y = (Base` W)
11		minvec10.x	. . . . . . . . . . . 12 |- X = (Base` U)
12	8, 9, 10, 11	minveclem3 8547	. . . . . . . . . . 11 |- Y (_ X
13	12	sseli 2065	. . . . . . . . . 10 |- (y e. Y -> y e. X)
14	8	phnvi 8475	. . . . . . . . . . . 12 |- U e. NrmCVec
15		minvec10.a	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. X
16		minvec10.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- M = (-v` U)
17	11, 16	nvmcl 8267	. . . . . . . . . . . 12 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ y e. X) -> (AMy) e. X)
18	14, 15, 17	mp3an12 906	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. X -> (AMy) e. X)
19		minvec10.n	. . . . . . . . . . . . . 14 |- N = (norm` U)
20	11, 19	nvge0 8302	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((U e. NrmCVec /\ (AMy) e. X) -> 0 <_ (N` (AMy)))
21	14, 20	mpan 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ((AMy) e. X -> 0 <_ (N` (AMy)))
22	11, 19	nvcl 8287	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((U e. NrmCVec /\ (AMy) e. X) -> (N` (AMy)) e. RR)
23	14, 22	mpan 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((AMy) e. X -> (N` (AMy)) e. RR)
24		le0neg2t 5671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((N` (AMy)) e. RR -> (0 <_ (N` (AMy)) <-> -u(N` (AMy)) <_ 0))
25	23, 24	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ((AMy) e. X -> (0 <_ (N` (AMy)) <-> -u(N` (AMy)) <_ 0))
26	21, 25	mpbid 195	. . . . . . . . . . 11 |- ((AMy) e. X -> -u(N` (AMy)) <_ 0)
27	18, 26	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (y e. X -> -u(N` (AMy)) <_ 0)
28	13, 27	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (y e. Y -> -u(N` (AMy)) <_ 0)
29	28	adantr 389	. . . . . . . 8 |- ((y e. Y /\ a = -u(N` (AMy))) -> -u(N` (AMy)) <_ 0)
30	7, 29	eqbrtrd 2635	. . . . . . 7 |- ((y e. Y /\ a = -u(N` (AMy))) -> a <_ 0)
31	30	r19.23aiva 1744	. . . . . 6 |- (E.y e. Y a = -u(N` (AMy)) -> a <_ 0)
32	6, 31	sylbi 199	. . . . 5 |- (a e. R -> a <_ 0)
33	32	rgen 1698	. . . 4 |- A.a e. R a <_ 0
34	8, 9, 10, 11, 16, 19, 15	minveclem5 8549	. . . . . 6 |- (y e. Y -> (N` (AMy)) e. RR)
35	8, 9, 10	minveclem2 8546	. . . . . 6 |- (0v` W) e. Y
36	5, 8, 16, 19, 11, 9, 10, 15	minveclem10 8554	. . . . . 6 |- E.u e. RR A.t e. R t <_ u
37	5, 34, 35, 36	infcvgaux1 7219	. . . . 5 |- (R (_ RR /\ R =/= (/) /\ E.u e. RR A.t e. R t <_ u)
38	37	suprleubi 6065	. . . 4 |- ((0 e. RR /\ A.a e. R a <_ 0) -> sup(R, RR, < ) <_ 0)
39	1, 33, 38	mp2an 697	. . 3 |- sup(R, RR, < ) <_ 0
40	5, 8, 16, 19, 11, 9, 10, 15	minveclem11 8555	. . . 4 |- sup(R, RR, < ) e. RR
41		le0neg1t 5670	. . . 4 |- (sup(R, RR, < ) e. RR -> (sup(R, RR, < ) <_ 0 <-> 0 <_ -usup(R, RR, < )))
42	40, 41	ax-mp 7	. . 3 |- (sup(R, RR, < ) <_ 0 <-> 0 <_ -usup(R, RR, < ))
43	39, 42	mpbi 189	. 2 |- 0 <_ -usup(R, RR, < )
44		minvec12.2	. 2 |- P = -usup(R, RR, < )
45	43, 44	breqtrr 2640	1 |- 0 <_ P

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463  A.wral 1645  E.wrex 1646   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  supcsup 4573  RRcr 5233  0cc0 5234  -ucneg 5293   <_ cle 5295   < clt 5486  NrmCVeccnv 8203  Basecba 8205  0vcn0v 8207  -vcnsb 8208  normcnm 8209  SubSpcss 8380  CPreHilcphl 8471

This theorem is referenced by:  minveclem21 8565  minveclem25 8569  minveclem38 8582

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-2 5970  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-vs 8218  df-nm 8219  df-ssp 8381  df-ph 8472

Copyright terms: Public domain