Theorem mettri4 7823

Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space.

Hypothesis

Ref	Expression
metf.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
mettri4	|- (((D e. Met /\ A e. X) /\ (B e. X /\ C e. X)) -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB)))

Proof of Theorem mettri4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3982	. . . . . . 7 |- (x = A -> (xDy) = (ADy))
2		opreq2 3983	. . . . . . . 8 |- (x = A -> (zDx) = (zDA))
3	2	opreq1d 3989	. . . . . . 7 |- (x = A -> ((zDx) + (zDy)) = ((zDA) + (zDy)))
4	1, 3	breq12d 2644	. . . . . 6 |- (x = A -> ((xDy) <_ ((zDx) + (zDy)) <-> (ADy) <_ ((zDA) + (zDy))))
5		opreq2 3983	. . . . . . 7 |- (y = B -> (ADy) = (ADB))
6		opreq2 3983	. . . . . . . 8 |- (y = B -> (zDy) = (zDB))
7	6	opreq2d 3990	. . . . . . 7 |- (y = B -> ((zDA) + (zDy)) = ((zDA) + (zDB)))
8	5, 7	breq12d 2644	. . . . . 6 |- (y = B -> ((ADy) <_ ((zDA) + (zDy)) <-> (ADB) <_ ((zDA) + (zDB))))
9		opreq1 3982	. . . . . . . 8 |- (z = C -> (zDA) = (CDA))
10		opreq1 3982	. . . . . . . 8 |- (z = C -> (zDB) = (CDB))
11	9, 10	opreq12d 3992	. . . . . . 7 |- (z = C -> ((zDA) + (zDB)) = ((CDA) + (CDB)))
12	11	breq2d 2643	. . . . . 6 |- (z = C -> ((ADB) <_ ((zDA) + (zDB)) <-> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB))))
13	4, 8, 12	rcla43v 1889	. . . . 5 |- ((A e. X /\ B e. X /\ C e. X) -> (A.x e. X A.y e. X A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)) -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB))))
14		metf.1	. . . . . . . 8 |- X = dom dom D
15	14	metflem 7815	. . . . . . 7 |- (D e. Met -> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))))
16	15	pm3.27d 325	. . . . . 6 |- (D e. Met -> A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))
17		pm3.27 323	. . . . . . . 8 |- ((((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))) -> A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
18	17	r19.20si 1713	. . . . . . 7 |- (A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))) -> A.y e. X A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
19	18	r19.20si 1713	. . . . . 6 |- (A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))) -> A.x e. X A.y e. X A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
20	16, 19	syl 10	. . . . 5 |- (D e. Met -> A.x e. X A.y e. X A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
21	13, 20	syl5 21	. . . 4 |- ((A e. X /\ B e. X /\ C e. X) -> (D e. Met -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB))))
22	21	3expib 840	. . 3 |- (A e. X -> ((B e. X /\ C e. X) -> (D e. Met -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB)))))
23	22	com3r 35	. 2 |- (D e. Met -> (A e. X -> ((B e. X /\ C e. X) -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB)))))
24	23	imp31 362	1 |- (((D e. Met /\ A e. X) /\ (B e. X /\ C e. X)) -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 779   = wceq 960   e. wcel 962  A.wral 1652   class class class wbr 2632   X. cxp 3182  dom cdm 3184  -->wf 3192  (class class class)co 3977  RRcr 5246  0cc0 5247   + caddc 5250   <_ cle 5308  Metcme 7798

This theorem is referenced by:  metsym 7825  metge0 7828  iscau3 7947  iscau4 7949  lmle 7969

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-sep 2716  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-ral 1656  df-v 1819  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-nul 2290  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-op 2426  df-uni 2516  df-br 2633  df-opab 2680  df-id 2849  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-fv 3212  df-opr 3979  df-met 7802

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