Theorem metsym 7766

Description: The distance function of a metric space is symmetric. Definition 14-1.1(c) of [Gleason] p. 223.

Hypothesis

Ref	Expression
metf.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
metsym	|- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) = (BDA))

Proof of Theorem metsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf.1	. . . . . . 7 |- X = dom dom D
2	1	mettri4 7764	. . . . . 6 |- (((D e. Met /\ A e. X) /\ (B e. X /\ B e. X)) -> (ADB) <_ ((BDA) + (BDB)))
3	2	anabsan2 505	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ A e. X) /\ B e. X) -> (ADB) <_ ((BDA) + (BDB)))
4	3	3impa 827	. . . 4 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) <_ ((BDA) + (BDB)))
5	1	met0 7765	. . . . . . 7 |- ((D e. Met /\ B e. X) -> (BDB) = 0)
6	5	3adant2 797	. . . . . 6 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (BDB) = 0)
7	6	opreq2d 3967	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> ((BDA) + (BDB)) = ((BDA) + 0))
8	1	metcl 7761	. . . . . . . 8 |- ((D e. Met /\ B e. X /\ A e. X) -> (BDA) e. RR)
9	8	recnd 5295	. . . . . . 7 |- ((D e. Met /\ B e. X /\ A e. X) -> (BDA) e. CC)
10		ax0id 5261	. . . . . . 7 |- ((BDA) e. CC -> ((BDA) + 0) = (BDA))
11	9, 10	syl 10	. . . . . 6 |- ((D e. Met /\ B e. X /\ A e. X) -> ((BDA) + 0) = (BDA))
12	11	3com23 838	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> ((BDA) + 0) = (BDA))
13	7, 12	eqtrd 1504	. . . 4 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> ((BDA) + (BDB)) = (BDA))
14	4, 13	breqtrd 2634	. . 3 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) <_ (BDA))
15	1	mettri4 7764	. . . . . . 7 |- (((D e. Met /\ B e. X) /\ (A e. X /\ A e. X)) -> (BDA) <_ ((ADB) + (ADA)))
16	15	anabsan2 505	. . . . . 6 |- (((D e. Met /\ B e. X) /\ A e. X) -> (BDA) <_ ((ADB) + (ADA)))
17	16	3impa 827	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ B e. X /\ A e. X) -> (BDA) <_ ((ADB) + (ADA)))
18	17	3com23 838	. . . 4 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (BDA) <_ ((ADB) + (ADA)))
19	1	met0 7765	. . . . . . 7 |- ((D e. Met /\ A e. X) -> (ADA) = 0)
20	19	3adant3 798	. . . . . 6 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADA) = 0)
21	20	opreq2d 3967	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> ((ADB) + (ADA)) = ((ADB) + 0))
22	1	metcl 7761	. . . . . . 7 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) e. RR)
23	22	recnd 5295	. . . . . 6 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) e. CC)
24		ax0id 5261	. . . . . 6 |- ((ADB) e. CC -> ((ADB) + 0) = (ADB))
25	23, 24	syl 10	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> ((ADB) + 0) = (ADB))
26	21, 25	eqtrd 1504	. . . 4 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> ((ADB) + (ADA)) = (ADB))
27	18, 26	breqtrd 2634	. . 3 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (BDA) <_ (ADB))
28	14, 27	jca 288	. 2 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> ((ADB) <_ (BDA) /\ (BDA) <_ (ADB)))
29		letri3t 5498	. . 3 |- (((ADB) e. RR /\ (BDA) e. RR) -> ((ADB) = (BDA) <-> ((ADB) <_ (BDA) /\ (BDA) <_ (ADB))))
30	8	3com23 838	. . 3 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (BDA) e. RR)
31	29, 22, 30	sylanc 471	. 2 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> ((ADB) = (BDA) <-> ((ADB) <_ (BDA) /\ (BDA) <_ (ADB))))
32	28, 31	mpbird 196	1 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) = (BDA))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956   class class class wbr 2614  dom cdm 3165  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214   + caddc 5217   <_ cle 5275  Metcme 7739

This theorem is referenced by:  mettri 7767  mettriOLD 7768  mettri3 7769  mettri3OLD 7770  elbl3 7792  metcnp2 7840

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-c 5220  df-0 5221  df-r 5224  df-plus 5225  df-lt 5227  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-met 7743

Copyright terms: Public domain