Theorem metcni 7894

Description: Epsilon-delta property of a continuous metric space function.

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.1	|- X = dom dom C
metcn.2	|- J = (Open` C)
metcn.3	|- Y = dom dom D
metcn.4	|- K = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
metcni	|- (((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A)))

Distinct variable groups:   x,y,F   x,C,y   x,D,y   x,X,y   x,Y,y   x,P,y   x,J,y   x,K,y   x,A,y

Proof of Theorem metcni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3968	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = P -> (zCy) = (PCy))
2	1	breq1d 2629	. . . . . . . . . . 11 |- (z = P -> ((zCy) < x <-> (PCy) < x))
3		fveq2 3724	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = P -> (F` z) = (F` P))
4	3	opreq1d 3975	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = P -> ((F` z)D(F` y)) = ((F` P)D(F` y)))
5	4	breq1d 2629	. . . . . . . . . . 11 |- (z = P -> (((F` z)D(F` y)) < w <-> ((F` P)D(F` y)) < w))
6	2, 5	imbi12d 626	. . . . . . . . . 10 |- (z = P -> (((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w) <-> ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w)))
7	6	ralbidv 1663	. . . . . . . . 9 |- (z = P -> (A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w) <-> A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w)))
8	7	anbi2d 616	. . . . . . . 8 |- (z = P -> ((0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w)) <-> (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w))))
9	8	rexbidv 1664	. . . . . . 7 |- (z = P -> (E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w)) <-> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w))))
10	9	imbi2d 612	. . . . . 6 |- (z = P -> ((0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w))) <-> (0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w)))))
11		breq2 2623	. . . . . . 7 |- (w = A -> (0 < w <-> 0 < A))
12		breq2 2623	. . . . . . . . . . 11 |- (w = A -> (((F` P)D(F` y)) < w <-> ((F` P)D(F` y)) < A))
13	12	imbi2d 612	. . . . . . . . . 10 |- (w = A -> (((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w) <-> ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A)))
14	13	ralbidv 1663	. . . . . . . . 9 |- (w = A -> (A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w) <-> A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A)))
15	14	anbi2d 616	. . . . . . . 8 |- (w = A -> ((0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w)) <-> (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A))))
16	15	rexbidv 1664	. . . . . . 7 |- (w = A -> (E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w)) <-> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A))))
17	11, 16	imbi12d 626	. . . . . 6 |- (w = A -> ((0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w))) <-> (0 < A -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A)))))
18	10, 17	rcla42v 1880	. . . . 5 |- ((P e. X /\ A e. RR) -> (A.z e. X A.w e. RR (0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w))) -> (0 < A -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A)))))
19		metcn.1	. . . . . . . 8 |- X = dom dom C
20		metcn.2	. . . . . . . 8 |- J = (Open` C)
21		metcn.3	. . . . . . . 8 |- Y = dom dom D
22		metcn.4	. . . . . . . 8 |- K = (Open` D)
23	19, 20, 21, 22	metcn 7889	. . . . . . 7 |- ((C e. Met /\ D e. Met) -> (F e. (J Cn K) <-> (F:X-->Y /\ A.z e. X A.w e. RR (0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w))))))
24		pm3.27 323	. . . . . . 7 |- ((F:X-->Y /\ A.z e. X A.w e. RR (0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w)))) -> A.z e. X A.w e. RR (0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w))))
25	23, 24	syl6bi 214	. . . . . 6 |- ((C e. Met /\ D e. Met) -> (F e. (J Cn K) -> A.z e. X A.w e. RR (0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w)))))
26	25	3impia 830	. . . . 5 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> A.z e. X A.w e. RR (0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w))))
27	18, 26	syl5 21	. . . 4 |- ((P e. X /\ A e. RR) -> ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> (0 < A -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A)))))
28	27	com23 32	. . 3 |- ((P e. X /\ A e. RR) -> (0 < A -> ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A)))))
29	28	3impia 830	. 2 |- ((P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A) -> ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A))))
30	29	impcom 351	1 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   class class class wbr 2619  dom cdm 3170  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233  0cc0 5234   < clt 5486   Cn ccn 7752  Metcme 7789  Opencopn 7792

This theorem is referenced by:  metcni2 7895  xpcn 7976  nvcni 8329

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088