Theorem mddmd 10236

Description: Relationship between modular pairs and dual-modular pairs. Lemma 1.2 of [MaedaMaeda] p. 1.

Assertion

Ref	Expression
mddmd	|- (A e. CH -> (A.x e. CH A MH x <-> A.x e. CH A MH* x))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem mddmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdbrt 10221	. . . . . 6 |- ((A e. CH /\ y e. CH) -> (A MH y <-> A.x e. CH (x (_ y -> ((x vH A) i^i y) = (x vH (A i^i y)))))
2		chjcomt 9429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. CH /\ x e. CH) -> (A vH x) = (x vH A))
3	2	ineq1d 2216	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CH /\ x e. CH) -> ((A vH x) i^i y) = ((x vH A) i^i y))
4		incom 2208	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A vH x) i^i y) = (y i^i (A vH x))
5	3, 4	syl5reqr 1522	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CH /\ x e. CH) -> ((x vH A) i^i y) = (y i^i (A vH x)))
6	5	adantlr 393	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. CH /\ y e. CH) /\ x e. CH) -> ((x vH A) i^i y) = (y i^i (A vH x)))
7		chjcomt 9429	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A i^i y) e. CH /\ x e. CH) -> ((A i^i y) vH x) = (x vH (A i^i y)))
8		chinclt 9422	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CH /\ y e. CH) -> (A i^i y) e. CH)
9	7, 8	sylan 448	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. CH /\ y e. CH) /\ x e. CH) -> ((A i^i y) vH x) = (x vH (A i^i y)))
10		incom 2208	. . . . . . . . . . . 12 |- (A i^i y) = (y i^i A)
11	10	opreq1i 3971	. . . . . . . . . . 11 |- ((A i^i y) vH x) = ((y i^i A) vH x)
12	9, 11	syl5reqr 1522	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. CH /\ y e. CH) /\ x e. CH) -> (x vH (A i^i y)) = ((y i^i A) vH x))
13	6, 12	eqeq12d 1489	. . . . . . . . 9 |- (((A e. CH /\ y e. CH) /\ x e. CH) -> (((x vH A) i^i y) = (x vH (A i^i y)) <-> (y i^i (A vH x)) = ((y i^i A) vH x)))
14		eqcom 1477	. . . . . . . . 9 |- ((y i^i (A vH x)) = ((y i^i A) vH x) <-> ((y i^i A) vH x) = (y i^i (A vH x)))
15	13, 14	syl6bb 536	. . . . . . . 8 |- (((A e. CH /\ y e. CH) /\ x e. CH) -> (((x vH A) i^i y) = (x vH (A i^i y)) <-> ((y i^i A) vH x) = (y i^i (A vH x))))
16	15	imbi2d 612	. . . . . . 7 |- (((A e. CH /\ y e. CH) /\ x e. CH) -> ((x (_ y -> ((x vH A) i^i y) = (x vH (A i^i y))) <-> (x (_ y -> ((y i^i A) vH x) = (y i^i (A vH x)))))
17	16	ralbidva 1659	. . . . . 6 |- ((A e. CH /\ y e. CH) -> (A.x e. CH (x (_ y -> ((x vH A) i^i y) = (x vH (A i^i y))) <-> A.x e. CH (x (_ y -> ((y i^i A) vH x) = (y i^i (A vH x)))))
18	1, 17	bitrd 528	. . . . 5 |- ((A e. CH /\ y e. CH) -> (A MH y <-> A.x e. CH (x (_ y -> ((y i^i A) vH x) = (y i^i (A vH x)))))
19	18	ralbidva 1659	. . . 4 |- (A e. CH -> (A.y e. CH A MH y <-> A.y e. CH A.x e. CH (x (_ y -> ((y i^i A) vH x) = (y i^i (A vH x)))))
20		breq2 2623	. . . . 5 |- (x = y -> (A MH x <-> A MH y))
21	20	cbvralv 1800	. . . 4 |- (A.x e. CH A MH x <-> A.y e. CH A MH y)
22	19, 21	syl5bb 532	. . 3 |- (A e. CH -> (A.x e. CH A MH x <-> A.y e. CH A.x e. CH (x (_ y -> ((y i^i A) vH x) = (y i^i (A vH x)))))
23		ralcom 1774	. . 3 |- (A.y e. CH A.x e. CH (x (_ y -> ((y i^i A) vH x) = (y i^i (A vH x))) <-> A.x e. CH A.y e. CH (x (_ y -> ((y i^i A) vH x) = (y i^i (A vH x))))
24	22, 23	syl6bb 536	. 2 |- (A e. CH -> (A.x e. CH A MH x <-> A.x e. CH A.y e. CH (x (_ y -> ((y i^i A) vH x) = (y i^i (A vH x)))))
25		dmdbrt 10226	. . 3 |- ((A e. CH /\ x e. CH) -> (A MH* x <-> A.y e. CH (x (_ y -> ((y i^i A) vH x) = (y i^i (A vH x)))))
26	25	ralbidva 1659	. 2 |- (A e. CH -> (A.x e. CH A MH* x <-> A.x e. CH A.y e. CH (x (_ y -> ((y i^i A) vH x) = (y i^i (A vH x)))))
27	24, 26	bitr4d 531	1 |- (A e. CH -> (A.x e. CH A MH x <-> A.x e. CH A MH* x))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   i^i cin 2046   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  CHcch 8798   vH chj 8802   MH cmd 8835   MH* cdmd 8836

This theorem is referenced by:  atmd 10326

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hv0cl 8873  ax-hfvmul 8875

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358  df-n 5925  df-hlim 8841  df-sh 9076  df-ch 9092  df-chj 9275  df-md 10207  df-dmd 10208

Copyright terms: Public domain