Theorem mdbr3 10224

Description: Binary relation expressing the modular pair property. This version quantifies an equality instead of an inference.

Assertion

Ref	Expression
mdbr3	|- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A MH B <-> A.x e. CH (((x i^i B) vH A) i^i B) = ((x i^i B) vH (A i^i B))))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem mdbr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdbrt 10221	. 2 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A MH B <-> A.y e. CH (y (_ B -> ((y vH A) i^i B) = (y vH (A i^i B)))))
2		chinclt 9422	. . . . . . . 8 |- ((x e. CH /\ B e. CH) -> (x i^i B) e. CH)
3		inss2 2231	. . . . . . . . 9 |- (x i^i B) (_ B
4		sseq1 2082	. . . . . . . . . . 11 |- (y = (x i^i B) -> (y (_ B <-> (x i^i B) (_ B))
5		opreq1 3968	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = (x i^i B) -> (y vH A) = ((x i^i B) vH A))
6	5	ineq1d 2216	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = (x i^i B) -> ((y vH A) i^i B) = (((x i^i B) vH A) i^i B))
7		opreq1 3968	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = (x i^i B) -> (y vH (A i^i B)) = ((x i^i B) vH (A i^i B)))
8	6, 7	eqeq12d 1489	. . . . . . . . . . 11 |- (y = (x i^i B) -> (((y vH A) i^i B) = (y vH (A i^i B)) <-> (((x i^i B) vH A) i^i B) = ((x i^i B) vH (A i^i B))))
9	4, 8	imbi12d 626	. . . . . . . . . 10 |- (y = (x i^i B) -> ((y (_ B -> ((y vH A) i^i B) = (y vH (A i^i B))) <-> ((x i^i B) (_ B -> (((x i^i B) vH A) i^i B) = ((x i^i B) vH (A i^i B)))))
10	9	rcla4v 1873	. . . . . . . . 9 |- ((x i^i B) e. CH -> (A.y e. CH (y (_ B -> ((y vH A) i^i B) = (y vH (A i^i B))) -> ((x i^i B) (_ B -> (((x i^i B) vH A) i^i B) = ((x i^i B) vH (A i^i B)))))
11	3, 10	mpii 45	. . . . . . . 8 |- ((x i^i B) e. CH -> (A.y e. CH (y (_ B -> ((y vH A) i^i B) = (y vH (A i^i B))) -> (((x i^i B) vH A) i^i B) = ((x i^i B) vH (A i^i B))))
12	2, 11	syl 10	. . . . . . 7 |- ((x e. CH /\ B e. CH) -> (A.y e. CH (y (_ B -> ((y vH A) i^i B) = (y vH (A i^i B))) -> (((x i^i B) vH A) i^i B) = ((x i^i B) vH (A i^i B))))
13	12	ex 373	. . . . . 6 |- (x e. CH -> (B e. CH -> (A.y e. CH (y (_ B -> ((y vH A) i^i B) = (y vH (A i^i B))) -> (((x i^i B) vH A) i^i B) = ((x i^i B) vH (A i^i B)))))
14	13	com3l 34	. . . . 5 |- (B e. CH -> (A.y e. CH (y (_ B -> ((y vH A) i^i B) = (y vH (A i^i B))) -> (x e. CH -> (((x i^i B) vH A) i^i B) = ((x i^i B) vH (A i^i B)))))
15	14	r19.21adv 1718	. . . 4 |- (B e. CH -> (A.y e. CH (y (_ B -> ((y vH A) i^i B) = (y vH (A i^i B))) -> A.x e. CH (((x i^i B) vH A) i^i B) = ((x i^i B) vH (A i^i B))))
16		dfss 2054	. . . . . . . . . . 11 |- (x (_ B <-> x = (x i^i B))
17	16	biimp 151	. . . . . . . . . 10 |- (x (_ B -> x = (x i^i B))
18	17	opreq1d 3975	. . . . . . . . 9 |- (x (_ B -> (x vH A) = ((x i^i B) vH A))
19	18	ineq1d 2216	. . . . . . . 8 |- (x (_ B -> ((x vH A) i^i B) = (((x i^i B) vH A) i^i B))
20	17	opreq1d 3975	. . . . . . . 8 |- (x (_ B -> (x vH (A i^i B)) = ((x i^i B) vH (A i^i B)))
21	19, 20	eqeq12d 1489	. . . . . . 7 |- (x (_ B -> (((x vH A) i^i B) = (x vH (A i^i B)) <-> (((x i^i B) vH A) i^i B) = ((x i^i B) vH (A i^i B))))
22	21	biimprcd 156	. . . . . 6 |- ((((x i^i B) vH A) i^i B) = ((x i^i B) vH (A i^i B)) -> (x (_ B -> ((x vH A) i^i B) = (x vH (A i^i B))))
23	22	r19.20si 1706	. . . . 5 |- (A.x e. CH (((x i^i B) vH A) i^i B) = ((x i^i B) vH (A i^i B)) -> A.x e. CH (x (_ B -> ((x vH A) i^i B) = (x vH (A i^i B))))
24		sseq1 2082	. . . . . . 7 |- (x = y -> (x (_ B <-> y (_ B))
25		opreq1 3968	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> (x vH A) = (y vH A))
26	25	ineq1d 2216	. . . . . . . 8 |- (x = y -> ((x vH A) i^i B) = ((y vH A) i^i B))
27		opreq1 3968	. . . . . . . 8 |- (x = y -> (x vH (A i^i B)) = (y vH (A i^i B)))
28	26, 27	eqeq12d 1489	. . . . . . 7 |- (x = y -> (((x vH A) i^i B) = (x vH (A i^i B)) <-> ((y vH A) i^i B) = (y vH (A i^i B))))
29	24, 28	imbi12d 626	. . . . . 6 |- (x = y -> ((x (_ B -> ((x vH A) i^i B) = (x vH (A i^i B))) <-> (y (_ B -> ((y vH A) i^i B) = (y vH (A i^i B)))))
30	29	cbvralv 1800	. . . . 5 |- (A.x e. CH (x (_ B -> ((x vH A) i^i B) = (x vH (A i^i B))) <-> A.y e. CH (y (_ B -> ((y vH A) i^i B) = (y vH (A i^i B))))
31	23, 30	sylib 198	. . . 4 |- (A.x e. CH (((x i^i B) vH A) i^i B) = ((x i^i B) vH (A i^i B)) -> A.y e. CH (y (_ B -> ((y vH A) i^i B) = (y vH (A i^i B))))
32	15, 31	impbid1 517	. . 3 |- (B e. CH -> (A.y e. CH (y (_ B -> ((y vH A) i^i B) = (y vH (A i^i B))) <-> A.x e. CH (((x i^i B) vH A) i^i B) = ((x i^i B) vH (A i^i B))))
33	32	adantl 388	. 2 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A.y e. CH (y (_ B -> ((y vH A) i^i B) = (y vH (A i^i B))) <-> A.x e. CH (((x i^i B) vH A) i^i B) = ((x i^i B) vH (A i^i B))))
34	1, 33	bitrd 528	1 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A MH B <-> A.x e. CH (((x i^i B) vH A) i^i B) = ((x i^i B) vH (A i^i B))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   i^i cin 2046   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  CHcch 8798   vH chj 8802   MH cmd 8835

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hv0cl 8873  ax-hfvmul 8875

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358  df-n 5925  df-hlim 8841  df-sh 9076  df-ch 9092  df-md 10207

Copyright terms: Public domain