Theorem mapsspm 4353

Description: Set exponentiation is a subset of partial maps.

Hypotheses

Ref	Expression
elmap.1	|- A e. V
elmap.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
mapsspm	|- (A ^m B) (_ (A ^pm B)

Proof of Theorem mapsspm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmap.1	. . . 4 |- A e. V
2		elmap.2	. . . 4 |- B e. V
3	1, 2	elmap 4348	. . 3 |- (g e. (A ^m B) <-> g:B-->A)
4	2, 1	fpm 4352	. . 3 |- (g:B-->A -> g e. (A ^pm B))
5	3, 4	sylbi 199	. 2 |- (g e. (A ^m B) -> g e. (A ^pm B))
6	5	ssriv 2078	1 |- (A ^m B) (_ (A ^pm B)

Syntax hints:   e. wcel 962  Vcvv 1818   (_ wss 2056  -->wf 3192  (class class class)co 3977   ^m cm 4336   ^pm cpm 4337

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-ral 1656  df-rex 1657  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-nul 2290  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-op 2426  df-uni 2516  df-br 2633  df-opab 2680  df-id 2849  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-fv 3212  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-map 4338  df-pm 4339

Copyright terms: Public domain