Theorem mapdom2lem 4479

Description: Lemma for mapdom2 4480.

Hypotheses

Ref	Expression
mapdom1.1	|- A e. V
mapdom1.2	|- B e. V
mapdom1.3	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
mapdom2lem	|- (x e. (C ^m z) -> (x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/))

Distinct variable groups:   x,z,w,A   x,B,z,w   x,C,z,w

Proof of Theorem mapdom2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdom1.3	. . . . . . 7 |- C e. V
2		visset 1809	. . . . . . 7 |- z e. V
3	1, 2	elmap 4324	. . . . . 6 |- (x e. (C ^m z) <-> x:z-->C)
4		fdm 3623	. . . . . 6 |- (x:z-->C -> dom x = z)
5	3, 4	sylbi 199	. . . . 5 |- (x e. (C ^m z) -> dom x = z)
6		visset 1809	. . . . . . . 8 |- w e. V
7	6	fconst 3649	. . . . . . 7 |- ((B \ z) X. {w}):(B \ z)-->{w}
8		fdm 3623	. . . . . . 7 |- (((B \ z) X. {w}):(B \ z)-->{w} -> dom ((B \ z) X. {w}) = (B \ z))
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . . 6 |- dom ((B \ z) X. {w}) = (B \ z)
10	9	a1i 8	. . . . 5 |- (x e. (C ^m z) -> dom ((B \ z) X. {w}) = (B \ z))
11	5, 10	ineq12d 2214	. . . 4 |- (x e. (C ^m z) -> (dom x i^i dom ((B \ z) X. {w})) = (z i^i (B \ z)))
12		difdisj 2333	. . . 4 |- (z i^i (B \ z)) = (/)
13	11, 12	syl6eq 1520	. . 3 |- (x e. (C ^m z) -> (dom x i^i dom ((B \ z) X. {w})) = (/))
14		dmin 3313	. . . . 5 |- dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) (_ (dom x i^i dom ((B \ z) X. {w}))
15		sseq2 2079	. . . . 5 |- ((dom x i^i dom ((B \ z) X. {w})) = (/) -> (dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) (_ (dom x i^i dom ((B \ z) X. {w})) <-> dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) (_ (/)))
16	14, 15	mpbii 193	. . . 4 |- ((dom x i^i dom ((B \ z) X. {w})) = (/) -> dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) (_ (/))
17		ss0 2299	. . . 4 |- (dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) (_ (/) -> dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/))
18	16, 17	syl 10	. . 3 |- ((dom x i^i dom ((B \ z) X. {w})) = (/) -> dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/))
19	13, 18	syl 10	. 2 |- (x e. (C ^m z) -> dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/))
20		relxp 3250	. . . . 5 |- Rel ((B \ z) X. {w})
21		relin1 3257	. . . . 5 |- (Rel ((B \ z) X. {w}) -> Rel (((B \ z) X. {w}) i^i x))
22	20, 21	ax-mp 7	. . . 4 |- Rel (((B \ z) X. {w}) i^i x)
23		incom 2204	. . . . 5 |- (((B \ z) X. {w}) i^i x) = (x i^i ((B \ z) X. {w}))
24	23	releqi 3239	. . . 4 |- (Rel (((B \ z) X. {w}) i^i x) <-> Rel (x i^i ((B \ z) X. {w})))
25	22, 24	mpbi 189	. . 3 |- Rel (x i^i ((B \ z) X. {w}))
26		reldm0 3326	. . 3 |- (Rel (x i^i ((B \ z) X. {w})) -> ((x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/) <-> dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/)))
27	25, 26	ax-mp 7	. 2 |- ((x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/) <-> dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/))
28	19, 27	sylibr 200	1 |- (x e. (C ^m z) -> (x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807   \ cdif 2040   i^i cin 2042   (_ wss 2043  (/)c0 2276  {csn 2405   X. cxp 3163  dom cdm 3165  Rel wrel 3170  -->wf 3173  (class class class)co 3954   ^m cm 4312

This theorem is referenced by:  mapdom2 4480

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-map 4314

Copyright terms: Public domain