Theorem mapdom1 4472

Description: Order-preserving property of set exponentiation. Theorem 6L(c) of [Enderton] p. 149.

Hypotheses

Ref	Expression
mapdom1.1	|- A e. V
mapdom1.2	|- B e. V
mapdom1.3	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
mapdom1	|- (A ~<_ B -> (A ^m C) ~<_ (B ^m C))

Proof of Theorem mapdom1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdom1.2	. . 3 |- B e. V
2	1	domen 4361	. 2 |- (A ~<_ B <-> E.x(A ~~ x /\ x (_ B))
3		endomtr 4401	. . . 4 |- (((A ^m C) ~~ (x ^m C) /\ (x ^m C) ~<_ (B ^m C)) -> (A ^m C) ~<_ (B ^m C))
4		mapdom1.3	. . . . . 6 |- C e. V
5	4	enref 4372	. . . . 5 |- C ~~ C
6		mapdom1.1	. . . . . 6 |- A e. V
7		visset 1804	. . . . . 6 |- x e. V
8	6, 7, 4, 4	mapen 4471	. . . . 5 |- ((A ~~ x /\ C ~~ C) -> (A ^m C) ~~ (x ^m C))
9	5, 8	mpan2 694	. . . 4 |- (A ~~ x -> (A ^m C) ~~ (x ^m C))
10	1, 4	mapss 4330	. . . . 5 |- (x (_ B -> (x ^m C) (_ (B ^m C))
11		oprex 3968	. . . . . 6 |- (x ^m C) e. V
12		ssdomg 4389	. . . . . 6 |- ((x ^m C) e. V -> ((x ^m C) (_ (B ^m C) -> (x ^m C) ~<_ (B ^m C)))
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((x ^m C) (_ (B ^m C) -> (x ^m C) ~<_ (B ^m C))
14	10, 13	syl 10	. . . 4 |- (x (_ B -> (x ^m C) ~<_ (B ^m C))
15	3, 9, 14	syl2an 454	. . 3 |- ((A ~~ x /\ x (_ B) -> (A ^m C) ~<_ (B ^m C))
16	15	19.23aiv 1290	. 2 |- (E.x(A ~~ x /\ x (_ B) -> (A ^m C) ~<_ (B ^m C))
17	2, 16	sylbi 199	1 |- (A ~<_ B -> (A ^m C) ~<_ (B ^m C))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 955  E.wex 977  Vcvv 1802   (_ wss 2037   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948   ^m cm 4306   ~~ cen 4348   ~<_ cdom 4349

This theorem is referenced by:  infmap1 7516

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-map 4308  df-en 4351  df-dom 4352

Copyright terms: Public domain