Theorem ltsopr 5136

Description: Positive real 'less than' is a strict ordering. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122.

Assertion

Ref	Expression
ltsopr	|- <P Or P.

Proof of Theorem ltsopr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssirr 2146	. . . 4 |- -. x (. x
2		ltprord 5134	. . . 4 |- ((x e. P. /\ x e. P.) -> (x <P x <-> x (. x))
3	1, 2	mtbiri 717	. . 3 |- ((x e. P. /\ x e. P.) -> -. x <P x)
4	3	anidms 434	. 2 |- (x e. P. -> -. x <P x)
5		psstr 2150	. . 3 |- ((x (. y /\ y (. z) -> x (. z)
6		ltprord 5134	. . . . . 6 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> (x <P y <-> x (. y))
7	6	3adant3 799	. . . . 5 |- ((x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P.) -> (x <P y <-> x (. y))
8		ltprord 5134	. . . . . 6 |- ((y e. P. /\ z e. P.) -> (y <P z <-> y (. z))
9	8	3adant1 797	. . . . 5 |- ((x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P.) -> (y <P z <-> y (. z))
10	7, 9	anbi12d 628	. . . 4 |- ((x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P.) -> ((x <P y /\ y <P z) <-> (x (. y /\ y (. z)))
11		ltprord 5134	. . . . 5 |- ((x e. P. /\ z e. P.) -> (x <P z <-> x (. z))
12	11	3adant2 798	. . . 4 |- ((x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P.) -> (x <P z <-> x (. z))
13	10, 12	imbi12d 626	. . 3 |- ((x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P.) -> (((x <P y /\ y <P z) -> x <P z) <-> ((x (. y /\ y (. z) -> x (. z)))
14	5, 13	mpbiri 194	. 2 |- ((x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P.) -> ((x <P y /\ y <P z) -> x <P z))
15		psslinpr 5135	. . 3 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> (x (. y \/ x = y \/ y (. x))
16		pm4.2d 171	. . . 4 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> (x = y <-> x = y))
17		ltprord 5134	. . . . 5 |- ((y e. P. /\ x e. P.) -> (y <P x <-> y (. x))
18	17	ancoms 436	. . . 4 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> (y <P x <-> y (. x))
19	6, 16, 18	3orbi123d 892	. . 3 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> ((x <P y \/ x = y \/ y <P x) <-> (x (. y \/ x = y \/ y (. x)))
20	15, 19	mpbird 196	. 2 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> (x <P y \/ x = y \/ y <P x))
21	4, 14, 20	itlso 2863	1 |- <P Or P.

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   \/ w3o 774   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   (. wpss 2048   class class class wbr 2619   Or wor 2839  P.cnp 4985   <P cltp 4989

This theorem is referenced by:  ltapr 5151  addcanpr 5152  suplem2pr 5162  ltsosr 5203

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-mi 5002  df-lti 5003  df-enq 5037  df-nq 5038  df-ltq 5042  df-np 5086  df-ltp 5090

Copyright terms: Public domain