Theorem ltrpq 5085

Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. Proposition 9-2.6(iv) of [Gleason] p. 120.

Hypotheses

Ref	Expression
ltrpq.1	|- A e. V
ltrpq.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
ltrpq	|- (A <Q B -> (*Q` B) <Q (*Q` A))

Proof of Theorem ltrpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrpq.2	. . 3 |- B e. V
2		ltrelpq 5051	. . 3 |- <Q (_ (Q. X. Q.)
3	1, 2	brel 3223	. 2 |- (A <Q B -> (A e. Q. /\ B e. Q.))
4		1q 5057	. . . . . . . . . . . 12 |- 1Q e. Q.
5	4	elisseti 1818	. . . . . . . . . . 11 |- 1Q e. V
6		ltsopq 5075	. . . . . . . . . . 11 |- <Q Or Q.
7	5, 6, 2	soirri 3442	. . . . . . . . . 10 |- -. 1Q <Q 1Q
8		recidpq 5071	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. Q. -> (A .Q (*Q` A)) = 1Q)
9		recidpq 5071	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. Q. -> (B .Q (*Q` B)) = 1Q)
10	8, 9	breqan12rd 2633	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. Q. /\ A e. Q.) -> ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)) <-> 1Q <Q 1Q))
11	7, 10	mtbiri 717	. . . . . . . . 9 |- ((B e. Q. /\ A e. Q.) -> -. (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)))
12	11	adantll 392	. . . . . . . 8 |- (((A <Q B /\ B e. Q.) /\ A e. Q.) -> -. (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)))
13		recclpq 5072	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. Q. -> (*Q` A) e. Q.)
14		ltrpq.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- A e. V
15		visset 1813	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. V
16		visset 1813	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. V
17	15, 16	ltmpq 5077	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. Q. -> (y <Q z <-> (x .Q y) <Q (x .Q z)))
18		fvex 3732	. . . . . . . . . . . . 13 |- (*Q` A) e. V
19	15, 16	mulcompq 5064	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y .Q z) = (z .Q y)
20	14, 1, 17, 18, 19	caoprord2 4057	. . . . . . . . . . . 12 |- ((*Q` A) e. Q. -> (A <Q B <-> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A))))
21	13, 20	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. Q. -> (A <Q B <-> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A))))
22	21	anbi1d 617	. . . . . . . . . 10 |- (A e. Q. -> ((A <Q B /\ B e. Q.) <-> ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ B e. Q.)))
23	22	biimpac 418	. . . . . . . . 9 |- (((A <Q B /\ B e. Q.) /\ A e. Q.) -> ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ B e. Q.))
24		breq2 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B .Q (*Q` B)) = (B .Q (*Q` A)) -> ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)) <-> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A))))
25	24	biimprcd 156	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) -> ((B .Q (*Q` B)) = (B .Q (*Q` A)) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
26		opreq2 3969	. . . . . . . . . . . 12 |- ((*Q` B) = (*Q` A) -> (B .Q (*Q` B)) = (B .Q (*Q` A)))
27	25, 26	syl5 21	. . . . . . . . . . 11 |- ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) -> ((*Q` B) = (*Q` A) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
28	27	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- (((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ B e. Q.) -> ((*Q` B) = (*Q` A) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
29		oprex 3983	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A .Q (*Q` A)) e. V
30		oprex 3983	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B .Q (*Q` A)) e. V
31		oprex 3983	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B .Q (*Q` B)) e. V
32	29, 6, 2, 30, 31	sotri 3443	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ (B .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)))
33		fvex 3732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (*Q` B) e. V
34	18, 33	ltmpq 5077	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B e. Q. -> ((*Q` A) <Q (*Q` B) <-> (B .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
35	34	biimpa 416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B e. Q. /\ (*Q` A) <Q (*Q` B)) -> (B .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)))
36	32, 35	sylan2 451	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ (B e. Q. /\ (*Q` A) <Q (*Q` B))) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)))
37	36	exp32 377	. . . . . . . . . . 11 |- ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) -> (B e. Q. -> ((*Q` A) <Q (*Q` B) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)))))
38	37	imp 350	. . . . . . . . . 10 |- (((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ B e. Q.) -> ((*Q` A) <Q (*Q` B) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
39	28, 38	jaod 424	. . . . . . . . 9 |- (((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ B e. Q.) -> (((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B)) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
40	23, 39	syl 10	. . . . . . . 8 |- (((A <Q B /\ B e. Q.) /\ A e. Q.) -> (((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B)) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
41	12, 40	mtod 108	. . . . . . 7 |- (((A <Q B /\ B e. Q.) /\ A e. Q.) -> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B)))
42	41	exp31 376	. . . . . 6 |- (A <Q B -> (B e. Q. -> (A e. Q. -> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B)))))
43	42	imp3a 361	. . . . 5 |- (A <Q B -> ((B e. Q. /\ A e. Q.) -> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B))))
44	43	com12 11	. . . 4 |- ((B e. Q. /\ A e. Q.) -> (A <Q B -> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B))))
45		sotric 2860	. . . . . 6 |- (( <Q Or Q. /\ ((*Q` B) e. Q. /\ (*Q` A) e. Q.)) -> ((*Q` B) <Q (*Q` A) <-> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B))))
46	6, 45	mpan 695	. . . . 5 |- (((*Q` B) e. Q. /\ (*Q` A) e. Q.) -> ((*Q` B) <Q (*Q` A) <-> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B))))
47		recclpq 5072	. . . . 5 |- (B e. Q. -> (*Q` B) e. Q.)
48	46, 47, 13	syl2an 454	. . . 4 |- ((B e. Q. /\ A e. Q.) -> ((*Q` B) <Q (*Q` A) <-> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B))))
49	44, 48	sylibrd 204	. . 3 |- ((B e. Q. /\ A e. Q.) -> (A <Q B -> (*Q` B) <Q (*Q` A)))
50	49	ancoms 436	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A <Q B -> (*Q` B) <Q (*Q` A)))
51	3, 50	mpcom 49	1 |- (A <Q B -> (*Q` B) <Q (*Q` A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811   class class class wbr 2619   Or wor 2839  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  Q.cnq 4979  1Qc1q 4980   .Q cmq 4982  *Qcrq 4983   <Q cltq 4984

This theorem is referenced by:  1pr 5117  addclprlem1 5118  reclem2pr 5157  reclem3pr 5158

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-mi 5002  df-lti 5003  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043

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