Theorem ltnle 5579

Description: 'Less than' in terms of 'less than or equal to'.

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
ltnle	|- (A < B <-> -. B <_ A)

Proof of Theorem ltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.2	. . 3 |- B e. RR
2		lt.1	. . 3 |- A e. RR
3	1, 2	lenlt 5578	. 2 |- (B <_ A <-> -. A < B)
4	3	con2bii 221	1 |- (A < B <-> -. B <_ A)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   e. wcel 958   class class class wbr 2619  RRcr 5233   <_ cle 5295   < clt 5486

This theorem is referenced by:  letri 5584  nn0ltp1let 6127  zltp1let 6181  nneo 6197  bcpasc 6969

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-xr 5489  df-le 5491

Copyright terms: Public domain