Theorem ltmullem 5565

Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20.

Hypotheses

Ref	Expression
ltsubadd.1	|- A e. RR
ltsubadd.2	|- B e. RR
ltsubadd.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
ltmullem	|- (0 < C -> (A < B -> (A x. C) < (B x. C)))

Proof of Theorem ltmullem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsubadd.2	. . . . 5 |- B e. RR
2		ltsubadd.1	. . . . 5 |- A e. RR
3	1, 2	resubcl 5362	. . . 4 |- (B - A) e. RR
4		ltsubadd.3	. . . 4 |- C e. RR
5	3, 4	mulgt0 5531	. . 3 |- ((0 < (B - A) /\ 0 < C) -> 0 < ((B - A) x. C))
6	5	expcom 374	. 2 |- (0 < C -> (0 < (B - A) -> 0 < ((B - A) x. C)))
7	2	recn 5237	. . . . 5 |- A e. CC
8	7	addid2 5254	. . . 4 |- (0 + A) = A
9	8	breq1i 2594	. . 3 |- ((0 + A) < B <-> A < B)
10		0re 5363	. . . 4 |- 0 e. RR
11	10, 2, 1	ltaddsub 5564	. . 3 |- ((0 + A) < B <-> 0 < (B - A))
12	9, 11	bitr3 175	. 2 |- (A < B <-> 0 < (B - A))
13	1	recn 5237	. . . . 5 |- B e. CC
14	4	recn 5237	. . . . 5 |- C e. CC
15	13, 7, 14	subdir 5353	. . . 4 |- ((B - A) x. C) = ((B x. C) - (A x. C))
16	15	breq2i 2595	. . 3 |- (0 < ((B - A) x. C) <-> 0 < ((B x. C) - (A x. C)))
17	2, 4	remulcl 5258	. . . 4 |- (A x. C) e. RR
18	1, 4	remulcl 5258	. . . 4 |- (B x. C) e. RR
19	10, 17, 18	ltaddsub 5564	. . 3 |- ((0 + (A x. C)) < (B x. C) <-> 0 < ((B x. C) - (A x. C)))
20	17	recn 5237	. . . . 5 |- (A x. C) e. CC
21	20	addid2 5254	. . . 4 |- (0 + (A x. C)) = (A x. C)
22	21	breq1i 2594	. . 3 |- ((0 + (A x. C)) < (B x. C) <-> (A x. C) < (B x. C))
23	16, 19, 22	3bitr2r 180	. 2 |- ((A x. C) < (B x. C) <-> 0 < ((B - A) x. C))
24	6, 12, 23	3imtr4g 551	1 |- (0 < C -> (A < B -> (A x. C) < (B x. C)))

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 1105   class class class wbr 2587  (class class class)co 3902  RRcr 5156  0cc0 5157   + caddc 5160   x. cmul 5162   - cmin 5215   < clt 5409

This theorem is referenced by:  prodgt0lem 5725  ltmul1i 5728

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-nel 1564  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-en 4305  df-dom 4306  df-sdom 4307  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-ltr 5093  df-0r 5094  df-1r 5095  df-m1r 5096  df-c 5163  df-0 5164  df-1 5165  df-i 5166  df-r 5167  df-plus 5168  df-mul 5169  df-lt 5170  df-sub 5279  df-neg 5281  df-pnf 5410  df-mnf 5411  df-xr 5412  df-ltxr 5413  df-le 5414

Copyright terms: Public domain