Theorem ltmpi 5043

Description: Ordering property of multiplication for positive integers.

Hypotheses

Ref	Expression
ltmpi.1	|- A e. V
ltmpi.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
ltmpi	|- (C e. N. -> (A <N B <-> (C .N A) <N (C .N B)))

Proof of Theorem ltmpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmpi.2	. 2 |- B e. V
2		dmmulpi 5031	. 2 |- dom .N = (N. X. N.)
3		ltmpi.1	. 2 |- A e. V
4		ltrelpi 5029	. 2 |- <N (_ (N. X. N.)
5		0npi 5022	. 2 |- -. (/) e. N.
6		iba 644	. . . . . . . . . 10 |- ((/) e. C -> (A e. B <-> (A e. B /\ (/) e. C)))
7		nnmord 4253	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> ((A e. B /\ (/) e. C) <-> (C .o A) e. (C .o B)))
8	6, 7	sylan9bbr 543	. . . . . . . . 9 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ (/) e. C) -> (A e. B <-> (C .o A) e. (C .o B)))
9	8	3exp1 851	. . . . . . . 8 |- (A e. om -> (B e. om -> (C e. om -> ((/) e. C -> (A e. B <-> (C .o A) e. (C .o B))))))
10	9	imp4b 365	. . . . . . 7 |- ((A e. om /\ B e. om) -> ((C e. om /\ (/) e. C) -> (A e. B <-> (C .o A) e. (C .o B))))
11		elni2 5017	. . . . . . 7 |- (C e. N. <-> (C e. om /\ (/) e. C))
12	10, 11	syl5ib 206	. . . . . 6 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (C e. N. -> (A e. B <-> (C .o A) e. (C .o B))))
13		pinn 5018	. . . . . 6 |- (A e. N. -> A e. om)
14		pinn 5018	. . . . . 6 |- (B e. N. -> B e. om)
15	12, 13, 14	syl2an 456	. . . . 5 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (C e. N. -> (A e. B <-> (C .o A) e. (C .o B))))
16	15	imp 350	. . . 4 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> (A e. B <-> (C .o A) e. (C .o B)))
17		ltpiord 5027	. . . . 5 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A <N B <-> A e. B))
18	17	adantr 391	. . . 4 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> (A <N B <-> A e. B))
19		ltpiord 5027	. . . . . . . 8 |- (((C .N A) e. N. /\ (C .N B) e. N.) -> ((C .N A) <N (C .N B) <-> (C .N A) e. (C .N B)))
20		mulclpi 5033	. . . . . . . 8 |- ((C e. N. /\ A e. N.) -> (C .N A) e. N.)
21		mulclpi 5033	. . . . . . . 8 |- ((C e. N. /\ B e. N.) -> (C .N B) e. N.)
22	19, 20, 21	syl2an 456	. . . . . . 7 |- (((C e. N. /\ A e. N.) /\ (C e. N. /\ B e. N.)) -> ((C .N A) <N (C .N B) <-> (C .N A) e. (C .N B)))
23		mulpiord 5025	. . . . . . . . 9 |- ((C e. N. /\ A e. N.) -> (C .N A) = (C .o A))
24	23	adantr 391	. . . . . . . 8 |- (((C e. N. /\ A e. N.) /\ (C e. N. /\ B e. N.)) -> (C .N A) = (C .o A))
25		mulpiord 5025	. . . . . . . . 9 |- ((C e. N. /\ B e. N.) -> (C .N B) = (C .o B))
26	25	adantl 390	. . . . . . . 8 |- (((C e. N. /\ A e. N.) /\ (C e. N. /\ B e. N.)) -> (C .N B) = (C .o B))
27	24, 26	eleq12d 1545	. . . . . . 7 |- (((C e. N. /\ A e. N.) /\ (C e. N. /\ B e. N.)) -> ((C .N A) e. (C .N B) <-> (C .o A) e. (C .o B)))
28	22, 27	bitrd 530	. . . . . 6 |- (((C e. N. /\ A e. N.) /\ (C e. N. /\ B e. N.)) -> ((C .N A) <N (C .N B) <-> (C .o A) e. (C .o B)))
29	28	anandis 514	. . . . 5 |- ((C e. N. /\ (A e. N. /\ B e. N.)) -> ((C .N A) <N (C .N B) <-> (C .o A) e. (C .o B)))
30	29	ancoms 438	. . . 4 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> ((C .N A) <N (C .N B) <-> (C .o A) e. (C .o B)))
31	16, 18, 30	3bitr4d 552	. . 3 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> (A <N B <-> (C .N A) <N (C .N B)))
32	31	3impa 830	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> (A <N B <-> (C .N A) <N (C .N B)))
33	1, 2, 3, 4, 5, 32	ndmord 4056	1 |- (C e. N. -> (A <N B <-> (C .N A) <N (C .N B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  (/)c0 2283   class class class wbr 2624  omcom 3137  (class class class)co 3969   .o comu 4137  N.cnpi 4984   .N cmi 4986   <N clti 4987

This theorem is referenced by:  ordpipq 5068  ltsopq 5087  ltapq 5088  ltmpq 5089  1lt2pq 5090  prlem934b 5150

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-ni 5012  df-mi 5014  df-lti 5015

Copyright terms: Public domain