Theorem ltletrt 5505

Description: Transitive law.

Assertion

Ref	Expression
ltletrt	|- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A < B /\ B <_ C) -> A < C))

Proof of Theorem ltletrt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloet 5499	. . . . 5 |- ((B e. RR /\ C e. RR) -> (B <_ C <-> (B < C \/ B = C)))
2	1	3adant1 796	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (B <_ C <-> (B < C \/ B = C)))
3		axlttrn 5484	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A < B /\ B < C) -> A < C))
4	3	exp3a 375	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A < B -> (B < C -> A < C)))
5	4	com23 32	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (B < C -> (A < B -> A < C)))
6		breq2 2618	. . . . . . 7 |- (B = C -> (A < B <-> A < C))
7	6	biimpd 153	. . . . . 6 |- (B = C -> (A < B -> A < C))
8	7	a1i 8	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (B = C -> (A < B -> A < C)))
9	5, 8	jaod 424	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((B < C \/ B = C) -> (A < B -> A < C)))
10	2, 9	sylbid 203	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (B <_ C -> (A < B -> A < C)))
11	10	com23 32	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A < B -> (B <_ C -> A < C)))
12	11	imp3a 361	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A < B /\ B <_ C) -> A < C))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956   class class class wbr 2614  RRcr 5213   <_ cle 5275   < clt 5466

This theorem is referenced by:  ltletrd 5509  ltletr 5569  ltleaddt 5627  lediv12it 5852  nngt0t 5902  nnrecgt0t 5908  nnaddm1clt 5913  xrsupsslem 6031  uzwo3lem1 6172  zbtwnre 6177  ceilet 6201  qbtwnre 6224  icounlem 6353  fsequb 6463  seq1bnd 6855  caubnd 6871  caucvglem6 7106  expcnvlem1 7170  ivthlem7 7230  ivthlem7OLD 7239  efaddlem23 7310  cos01gt0 7427  znnenlem 7451  znnenlemOLD 7452  ssbl 7807  lmnn 7887

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-ltp 5070  df-enr 5146  df-nr 5147  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-c 5220  df-r 5224  df-lt 5227  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471

Copyright terms: Public domain