Theorem ltlei 5554

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference).

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
ltlei.1	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
ltlei	|- A <_ B

Proof of Theorem ltlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 |- A < B
2		lt.1	. . 3 |- A e. RR
3		lt.2	. . 3 |- B e. RR
4	2, 3	ltle 5553	. 2 |- (A < B -> A <_ B)
5	1, 4	ax-mp 7	1 |- A <_ B

Syntax hints:   e. wcel 955   class class class wbr 2609  RRcr 5205   <_ cle 5267   < clt 5458

This theorem is referenced by:  lemulge11t 5804  ledivp1 5854  ltdivp1 5855  flhalft 6189  expge0t 6522  exple1t 6538  expubndt 6539  sqrlem6 6608  sqrlem24 6626  sqrgt0i 6627  sqrlem26 6628  sqr1 6646  sqr2gt1lt2 6649  sqr2irrlem1 6654  sqr2irrlem4 6657  absexpt 6803  abs1m 6841  faclbnd3 6884  faclbnd4lem1 6885  bcpasc2 6905  ser1f0 7106  expcnvlem2 7163  georeclim 7175  geoisumr 7178  0.999... 7181  ivthlem4 7219  ivthlem7 7222  ivthlem8 7223  isupivth 7225  dsupivthlem 7226  ivthlem4OLD 7228  ivthlem7OLD 7231  ivthlem8OLD 7232  ivth2OLD 7234  erelem2 7262  efaddlem10 7289  efaddlem20 7299  ef01tllem2 7326  absef01tlub 7329  reeff1olem1 7364  reeff1olem1OLD 7366  sinbndt 7407  cosbndt 7408  cos2bnd 7417  dscmet 7856  nvm1 8231  nvmtri 8238  nv1 8243  ipid 8297  nmosetn0 8360  nmo0 8383  ubthlem12 8471  ubthlem13 8472  minveclem16 8491  minveclem21 8496  minveclem25 8500  minveclem35 8510  minveclem38 8513  pilem2 8591  sinhalfpilem 8598  sincosq1lem 8620  sincos4thpi 8627  sincos6thpi 8628  efifolem4 8640  efifolem5 8641  efifolem6 8642  efifolem7 8643  efif1lem7 8651  circgrpOLD 8658  resslogrn 8675  normlem6 8902  normlem7tALT 8906  norm-ii 8925  normsub 8929  normpar2 8944  norm1t 9042  projlem2 9103  projlem4 9105  projlem5 9106  projlem6 9107  projlem18 9119  projlem28 9129  nmopsetn0 9709  nmfnsetn0 9722  nmopge0t 9751  nmfnge0t 9767  nmop0 9826  nmfn0 9827  nmcopexlem5 9870  nmcfnexlem5 9899  hstle1t 10063  strlem1 10087  strlem3a 10089  strlem5 10092  jplem1 10105

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-ltp 5062  df-enr 5138  df-nr 5139  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-c 5212  df-r 5216  df-lt 5219  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463

Copyright terms: Public domain