Theorem ltexprlem2 5143

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123.

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	|- C = {x | E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem2	|- (B e. P. -> C (. Q.)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C

Proof of Theorem ltexprlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspsstr 2151	. 2 |- ((C (_ B /\ B (. Q.) -> C (. Q.)
2		elprpq 5095	. . . . . . . . 9 |- ((B e. P. /\ (y +Q x) e. B) -> (y +Q x) e. Q.)
3		visset 1813	. . . . . . . . . 10 |- x e. V
4		dmaddpq 5059	. . . . . . . . . 10 |- dom +Q = (Q. X. Q.)
5		0npq 5050	. . . . . . . . . 10 |- -. (/) e. Q.
6	3, 4, 5	ndmoprrcl 4046	. . . . . . . . 9 |- ((y +Q x) e. Q. -> (y e. Q. /\ x e. Q.))
7	2, 6	syl 10	. . . . . . . 8 |- ((B e. P. /\ (y +Q x) e. B) -> (y e. Q. /\ x e. Q.))
8		prcdpq 5097	. . . . . . . . 9 |- ((B e. P. /\ (y +Q x) e. B) -> (x <Q (y +Q x) -> x e. B))
9		visset 1813	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. V
10	3, 9	ltaddpq 5079	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. Q. /\ y e. Q.) -> x <Q (x +Q y))
11	10	ancoms 436	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. Q. /\ x e. Q.) -> x <Q (x +Q y))
12	3, 9	addcompq 5062	. . . . . . . . . 10 |- (x +Q y) = (y +Q x)
13	11, 12	syl6breq 2654	. . . . . . . . 9 |- ((y e. Q. /\ x e. Q.) -> x <Q (y +Q x))
14	8, 13	syl5 21	. . . . . . . 8 |- ((B e. P. /\ (y +Q x) e. B) -> ((y e. Q. /\ x e. Q.) -> x e. B))
15	7, 14	mpd 26	. . . . . . 7 |- ((B e. P. /\ (y +Q x) e. B) -> x e. B)
16	15	ex 373	. . . . . 6 |- (B e. P. -> ((y +Q x) e. B -> x e. B))
17	16	adantld 390	. . . . 5 |- (B e. P. -> ((-. y e. A /\ (y +Q x) e. B) -> x e. B))
18	17	19.23adv 1214	. . . 4 |- (B e. P. -> (E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B) -> x e. B))
19		ltexprlem.1	. . . . 5 |- C = {x | E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)}
20	19	abeq2i 1570	. . . 4 |- (x e. C <-> E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))
21	18, 20	syl5ib 206	. . 3 |- (B e. P. -> (x e. C -> x e. B))
22	21	ssrdv 2070	. 2 |- (B e. P. -> C (_ B)
23		prpssnq 5094	. 2 |- (B e. P. -> B (. Q.)
24	1, 22, 23	sylanc 471	1 |- (B e. P. -> C (. Q.)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463   (_ wss 2047   (. wpss 2048   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  Q.cnq 4979   +Q cplq 4981   <Q cltq 4984  P.cnp 4985

This theorem is referenced by:  ltexprlem5 5146

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086

Copyright terms: Public domain