Theorem ltexprlem1 5114

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123.

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	|- C = {x | E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem1	|- (B e. P. -> (A (. B -> C =/= (/)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C

Proof of Theorem ltexprlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1804	. . . . . . . . . 10 |- y e. V
2	1	prnmadd 5072	. . . . . . . . 9 |- ((B e. P. /\ y e. B) -> E.x(y +Q x) e. B)
3	2	anim2i 335	. . . . . . . 8 |- ((-. y e. A /\ (B e. P. /\ y e. B)) -> (-. y e. A /\ E.x(y +Q x) e. B))
4		19.42v 1303	. . . . . . . 8 |- (E.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B) <-> (-. y e. A /\ E.x(y +Q x) e. B))
5	3, 4	sylibr 200	. . . . . . 7 |- ((-. y e. A /\ (B e. P. /\ y e. B)) -> E.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))
6	5	exp32 377	. . . . . 6 |- (-. y e. A -> (B e. P. -> (y e. B -> E.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))))
7	6	com3l 34	. . . . 5 |- (B e. P. -> (y e. B -> (-. y e. A -> E.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))))
8	7	imp3a 361	. . . 4 |- (B e. P. -> ((y e. B /\ -. y e. A) -> E.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)))
9	8	19.22dv 1285	. . 3 |- (B e. P. -> (E.y(y e. B /\ -. y e. A) -> E.yE.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)))
10		pssnel 2321	. . 3 |- (A (. B -> E.y(y e. B /\ -. y e. A))
11	9, 10	syl5 21	. 2 |- (B e. P. -> (A (. B -> E.yE.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)))
12		ltexprlem.1	. . . . 5 |- C = {x | E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)}
13	12	abeq2i 1562	. . . 4 |- (x e. C <-> E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))
14	13	exbii 1047	. . 3 |- (E.x x e. C <-> E.xE.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))
15		ne0 2278	. . 3 |- (C =/= (/) <-> E.x x e. C)
16		excom 1042	. . 3 |- (E.yE.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B) <-> E.xE.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))
17	14, 15, 16	3bitr4 183	. 2 |- (C =/= (/) <-> E.yE.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))
18	11, 17	syl6ibr 213	1 |- (B e. P. -> (A (. B -> C =/= (/)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  {cab 1456   =/= wne 1577   (. wpss 2038  (/)c0 2270  (class class class)co 3948   +Q cplq 4953  P.cnp 4957

This theorem is referenced by:  ltexprlem5 5118

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058

Copyright terms: Public domain