Theorem ltexpri 5149

Description: Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123.

Hypothesis

Ref	Expression
ltexpri.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
ltexpri	|- (A <P B -> E.x(x e. P. /\ (A +P. x) = B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem ltexpri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexpri.1	. . 3 |- B e. V
2		ltrelpr 5101	. . 3 |- <P (_ (P. X. P.)
3	1, 2	brel 3223	. 2 |- (A <P B -> (A e. P. /\ B e. P.))
4		ltprord 5134	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A <P B <-> A (. B))
5		opreq2 3969	. . . . . . . 8 |- (x = {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)} -> (A +P. x) = (A +P. {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)}))
6	5	eqeq1d 1483	. . . . . . 7 |- (x = {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)} -> ((A +P. x) = B <-> (A +P. {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)}) = B))
7	6	cla4egv 1863	. . . . . 6 |- ({y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)} e. P. -> ((A +P. {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)}) = B -> E.x(A +P. x) = B))
8		opreq2 3969	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = z -> (w +Q y) = (w +Q z))
9	8	eleq1d 1540	. . . . . . . . . . 11 |- (y = z -> ((w +Q y) e. B <-> (w +Q z) e. B))
10	9	anbi2d 616	. . . . . . . . . 10 |- (y = z -> ((-. w e. A /\ (w +Q y) e. B) <-> (-. w e. A /\ (w +Q z) e. B)))
11	10	exbidv 1279	. . . . . . . . 9 |- (y = z -> (E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B) <-> E.w(-. w e. A /\ (w +Q z) e. B)))
12	11	cbvabv 1909	. . . . . . . 8 |- {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)} = {z | E.w(-. w e. A /\ (w +Q z) e. B)}
13	12	ltexprlem5 5146	. . . . . . 7 |- ((B e. P. /\ A (. B) -> {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)} e. P.)
14	13	adantll 392	. . . . . 6 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ A (. B) -> {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)} e. P.)
15	12	ltexprlem6 5147	. . . . . . 7 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ A (. B) -> (A +P. {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)}) (_ B)
16	12	ltexprlem7 5148	. . . . . . 7 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ A (. B) -> B (_ (A +P. {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)}))
17	15, 16	eqssd 2079	. . . . . 6 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ A (. B) -> (A +P. {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)}) = B)
18	7, 14, 17	sylc 68	. . . . 5 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ A (. B) -> E.x(A +P. x) = B)
19	18	ex 373	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A (. B -> E.x(A +P. x) = B))
20	4, 19	sylbid 203	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A <P B -> E.x(A +P. x) = B))
21		eleq1 1534	. . . . . . . 8 |- ((A +P. x) = B -> ((A +P. x) e. P. <-> B e. P.))
22		visset 1813	. . . . . . . . . 10 |- x e. V
23		dmplp 5115	. . . . . . . . . 10 |- dom +P. = (P. X. P.)
24		0npr 5096	. . . . . . . . . 10 |- -. (/) e. P.
25	22, 23, 24	ndmoprrcl 4046	. . . . . . . . 9 |- ((A +P. x) e. P. -> (A e. P. /\ x e. P.))
26	25	pm3.27d 325	. . . . . . . 8 |- ((A +P. x) e. P. -> x e. P.)
27	21, 26	syl6bir 215	. . . . . . 7 |- ((A +P. x) = B -> (B e. P. -> x e. P.))
28	27	com12 11	. . . . . 6 |- (B e. P. -> ((A +P. x) = B -> x e. P.))
29	28	adantl 388	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((A +P. x) = B -> x e. P.))
30	29	ancrd 299	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((A +P. x) = B -> (x e. P. /\ (A +P. x) = B)))
31	30	19.22dv 1290	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (E.x(A +P. x) = B -> E.x(x e. P. /\ (A +P. x) = B)))
32	20, 31	syld 27	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A <P B -> E.x(x e. P. /\ (A +P. x) = B)))
33	3, 32	mpcom 49	1 |- (A <P B -> E.x(x e. P. /\ (A +P. x) = B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  Vcvv 1811   (. wpss 2048   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963   +Q cplq 4981  P.cnp 4985   +P. cpp 4987   <P cltp 4989

This theorem is referenced by:  ltaprlem 5150  recexsrlem 5212  mulgt0sr 5214  map2psrpr 5220

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-plp 5088  df-ltp 5090

Copyright terms: Public domain