Theorem ltexpi 5029

Description: Ordering on positive integers in terms of existence of sum.

Assertion

Ref	Expression
ltexpi	|- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A <N B <-> E.x(x e. N. /\ (A +N x) = B)))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem ltexpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaordex 4249	. . . 4 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A e. B <-> E.x e. om ((/) e. x /\ (A +o x) = B)))
2		df-rex 1650	. . . 4 |- (E.x e. om ((/) e. x /\ (A +o x) = B) <-> E.x(x e. om /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B)))
3	1, 2	syl6bb 536	. . 3 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A e. B <-> E.x(x e. om /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B))))
4		pinn 5006	. . 3 |- (A e. N. -> A e. om)
5		pinn 5006	. . 3 |- (B e. N. -> B e. om)
6	3, 4, 5	syl2an 454	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A e. B <-> E.x(x e. om /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B))))
7		ltpiord 5015	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A <N B <-> A e. B))
8		addpiord 5012	. . . . . . 7 |- ((A e. N. /\ x e. N.) -> (A +N x) = (A +o x))
9	8	eqeq1d 1483	. . . . . 6 |- ((A e. N. /\ x e. N.) -> ((A +N x) = B <-> (A +o x) = B))
10	9	pm5.32da 649	. . . . 5 |- (A e. N. -> ((x e. N. /\ (A +N x) = B) <-> (x e. N. /\ (A +o x) = B)))
11		elni2 5005	. . . . . . 7 |- (x e. N. <-> (x e. om /\ (/) e. x))
12	11	anbi1i 481	. . . . . 6 |- ((x e. N. /\ (A +o x) = B) <-> ((x e. om /\ (/) e. x) /\ (A +o x) = B))
13		anass 439	. . . . . 6 |- (((x e. om /\ (/) e. x) /\ (A +o x) = B) <-> (x e. om /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B)))
14	12, 13	bitr 173	. . . . 5 |- ((x e. N. /\ (A +o x) = B) <-> (x e. om /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B)))
15	10, 14	syl6bb 536	. . . 4 |- (A e. N. -> ((x e. N. /\ (A +N x) = B) <-> (x e. om /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B))))
16	15	exbidv 1279	. . 3 |- (A e. N. -> (E.x(x e. N. /\ (A +N x) = B) <-> E.x(x e. om /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B))))
17	16	adantr 389	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (E.x(x e. N. /\ (A +N x) = B) <-> E.x(x e. om /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B))))
18	6, 7, 17	3bitr4d 550	1 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A <N B <-> E.x(x e. N. /\ (A +N x) = B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  E.wrex 1646  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  omcom 3131  (class class class)co 3963   +o coa 4130  N.cnpi 4972   +N cpli 4973   <N clti 4975

This theorem is referenced by:  ltexpq 5080

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-oadd 4135  df-ni 5000  df-pli 5001  df-lti 5003

Copyright terms: Public domain