Theorem ltaddpq 5051

Description: The sum of two fractions is greater than one of them.

Hypotheses

Ref	Expression
ltaddpq.1	|- A e. V
ltaddpq.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
ltaddpq	|- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> A <Q (A +Q B))

Proof of Theorem ltaddpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltaddpq.2	. . . . . 6 |- B e. V
2		oprex 3968	. . . . . 6 |- (B +Q B) e. V
3	1, 2	ltapq 5048	. . . . 5 |- (A e. Q. -> (B <Q (B +Q B) <-> (A +Q B) <Q (A +Q (B +Q B))))
4		1lt2pq 5050	. . . . . . 7 |- 1Q <Q (1Q +Q 1Q)
5		1q 5029	. . . . . . . . 9 |- 1Q e. Q.
6	5	elisseti 1809	. . . . . . . 8 |- 1Q e. V
7		oprex 3968	. . . . . . . 8 |- (1Q +Q 1Q) e. V
8	6, 7	ltmpq 5049	. . . . . . 7 |- (B e. Q. -> (1Q <Q (1Q +Q 1Q) <-> (B .Q 1Q) <Q (B .Q (1Q +Q 1Q))))
9	4, 8	mpbii 193	. . . . . 6 |- (B e. Q. -> (B .Q 1Q) <Q (B .Q (1Q +Q 1Q)))
10		mulidpq 5041	. . . . . 6 |- (B e. Q. -> (B .Q 1Q) = B)
11	10, 10	opreq12d 3963	. . . . . . 7 |- (B e. Q. -> ((B .Q 1Q) +Q (B .Q 1Q)) = (B +Q B))
12	6, 6	distrpq 5039	. . . . . . 7 |- (B .Q (1Q +Q 1Q)) = ((B .Q 1Q) +Q (B .Q 1Q))
13	11, 12	syl5eq 1511	. . . . . 6 |- (B e. Q. -> (B .Q (1Q +Q 1Q)) = (B +Q B))
14	9, 10, 13	3brtr3d 2634	. . . . 5 |- (B e. Q. -> B <Q (B +Q B))
15	3, 14	syl5bi 208	. . . 4 |- (A e. Q. -> (B e. Q. -> (A +Q B) <Q (A +Q (B +Q B))))
16		ltaddpq.1	. . . . . 6 |- A e. V
17	1, 16	addcompq 5034	. . . . 5 |- (B +Q A) = (A +Q B)
18		oprex 3968	. . . . . . 7 |- (A +Q B) e. V
19	1, 18	addcompq 5034	. . . . . 6 |- (B +Q (A +Q B)) = ((A +Q B) +Q B)
20	1, 1	addasspq 5035	. . . . . 6 |- ((A +Q B) +Q B) = (A +Q (B +Q B))
21	19, 20	eqtr 1487	. . . . 5 |- (B +Q (A +Q B)) = (A +Q (B +Q B))
22	17, 21	breq12i 2618	. . . 4 |- ((B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B)) <-> (A +Q B) <Q (A +Q (B +Q B)))
23	15, 22	syl6ibr 213	. . 3 |- (A e. Q. -> (B e. Q. -> (B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B))))
24	23	imp 350	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B)))
25	16, 18	ltapq 5048	. . 3 |- (B e. Q. -> (A <Q (A +Q B) <-> (B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B))))
26	25	adantl 388	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A <Q (A +Q B) <-> (B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B))))
27	24, 26	mpbird 196	1 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> A <Q (A +Q B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 955  Vcvv 1802   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  Q.cnq 4951  1Qc1q 4952   +Q cplq 4953   .Q cmq 4954   <Q cltq 4956

This theorem is referenced by:  ltexpq 5052  nsmallpq 5055  ltbtwnpq 5056  prlem934 5111  ltaddpr 5112  ltexprlem2 5115  ltexprlem4 5117

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-ltq 5014  df-1q 5015

Copyright terms: Public domain