Theorem ltadd2 5574

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Proof shortened by Paul Chapman, 27-Jan-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
lt.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
ltadd2	|- (A < B <-> (C + A) < (C + B))

Proof of Theorem ltadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 |- A e. RR
2		lt.2	. . 3 |- B e. RR
3		lt.3	. . 3 |- C e. RR
4		axltadd 5488	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A < B -> (C + A) < (C + B)))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 915	. 2 |- (A < B -> (C + A) < (C + B))
6		axltadd 5488	. . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ A e. RR /\ C e. RR) -> (B < A -> (C + B) < (C + A)))
7	2, 1, 3, 6	mp3an 915	. . . . . 6 |- (B < A -> (C + B) < (C + A))
8		opreq2 3964	. . . . . 6 |- (B = A -> (C + B) = (C + A))
9	7, 8	orim12i 336	. . . . 5 |- ((B < A \/ B = A) -> ((C + B) < (C + A) \/ (C + B) = (C + A)))
10	2, 1	leloe 5558	. . . . 5 |- (B <_ A <-> (B < A \/ B = A))
11	3, 2	readdcl 5317	. . . . . 6 |- (C + B) e. RR
12	3, 1	readdcl 5317	. . . . . 6 |- (C + A) e. RR
13	11, 12	leloe 5558	. . . . 5 |- ((C + B) <_ (C + A) <-> ((C + B) < (C + A) \/ (C + B) = (C + A)))
14	9, 10, 13	3imtr4 219	. . . 4 |- (B <_ A -> (C + B) <_ (C + A))
15	2, 1	lenlt 5561	. . . 4 |- (B <_ A <-> -. A < B)
16	11, 12	lenlt 5561	. . . 4 |- ((C + B) <_ (C + A) <-> -. (C + A) < (C + B))
17	14, 15, 16	3imtr3 218	. . 3 |- (-. A < B -> -. (C + A) < (C + B))
18	17	a3i 74	. 2 |- ((C + A) < (C + B) -> A < B)
19	5, 18	impbi 157	1 |- (A < B <-> (C + A) < (C + B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   = wceq 955   e. wcel 957   class class class wbr 2615  (class class class)co 3958  RRcr 5216   + caddc 5220   <_ cle 5278   < clt 5469

This theorem is referenced by:  ltadd1 5575  lt2add 5580  addgt0 5582  nneo 6154  sqrlem1 6618  sqrlem10 6627  sqrlem15 6632  sqrlem16 6633  ruclem1 7470  ruclem25 7494

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-c 5223  df-r 5227  df-plus 5228  df-lt 5230  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474

Copyright terms: Public domain