Theorem lt2add 5578

Description: Adding both side of two inequalities. Theorem I.25 of [Apostol] p. 20.

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
lt.3	|- C e. RR
lt.4	|- D e. RR

Assertion

Ref	Expression
lt2add	|- ((A < C /\ B < D) -> (A + B) < (C + D))

Proof of Theorem lt2add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . . 4 |- A e. RR
2		lt.2	. . . 4 |- B e. RR
3	1, 2	readdcl 5314	. . 3 |- (A + B) e. RR
4		lt.3	. . . 4 |- C e. RR
5	4, 2	readdcl 5314	. . 3 |- (C + B) e. RR
6		lt.4	. . . 4 |- D e. RR
7	4, 6	readdcl 5314	. . 3 |- (C + D) e. RR
8	3, 5, 7	lttr 5567	. 2 |- (((A + B) < (C + B) /\ (C + B) < (C + D)) -> (A + B) < (C + D))
9	1, 4, 2	ltadd1 5573	. 2 |- (A < C <-> (A + B) < (C + B))
10	2, 6, 4	ltadd2 5572	. 2 |- (B < D <-> (C + B) < (C + D))
11	8, 9, 10	syl2anb 455	1 |- ((A < C /\ B < D) -> (A + B) < (C + D))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 956   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954  RRcr 5213   + caddc 5217   < clt 5466

This theorem is referenced by:  lt2addt 5625  abs3lem 6846  cosh111lem1 8648  norm3lem 8955  projlem5 9129

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-c 5220  df-r 5224  df-plus 5225  df-lt 5227  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471

Copyright terms: Public domain