Theorem lnopunilem2 9851

Description: Lemma for lnopuni 9852.

Hypotheses

Ref	Expression
lnopunilem.1	|- T e. LinOp
lnopunilem.2	|- A.x e. H~ (normh` (T` x)) = (normh` x)
lnopunilem.3	|- A e. H~
lnopunilem.4	|- B e. H~

Assertion

Ref	Expression
lnopunilem2	|- ((T` A) .ih (T` B)) = (A .ih B)

Distinct variable group:   x,T

Proof of Theorem lnopunilem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3953	. . . . . 6 |- (y = if(y e. CC, y, 0) -> (y x. ((T` A) .ih (T` B))) = (if(y e. CC, y, 0) x. ((T` A) .ih (T` B))))
2	1	fveq2d 3713	. . . . 5 |- (y = if(y e. CC, y, 0) -> (Re` (y x. ((T` A) .ih (T` B)))) = (Re` (if(y e. CC, y, 0) x. ((T` A) .ih (T` B)))))
3		opreq1 3953	. . . . . 6 |- (y = if(y e. CC, y, 0) -> (y x. (A .ih B)) = (if(y e. CC, y, 0) x. (A .ih B)))
4	3	fveq2d 3713	. . . . 5 |- (y = if(y e. CC, y, 0) -> (Re` (y x. (A .ih B))) = (Re` (if(y e. CC, y, 0) x. (A .ih B))))
5	2, 4	eqeq12d 1481	. . . 4 |- (y = if(y e. CC, y, 0) -> ((Re` (y x. ((T` A) .ih (T` B)))) = (Re` (y x. (A .ih B))) <-> (Re` (if(y e. CC, y, 0) x. ((T` A) .ih (T` B)))) = (Re` (if(y e. CC, y, 0) x. (A .ih B)))))
6		lnopunilem.1	. . . . 5 |- T e. LinOp
7		lnopunilem.2	. . . . 5 |- A.x e. H~ (normh` (T` x)) = (normh` x)
8		lnopunilem.3	. . . . 5 |- A e. H~
9		lnopunilem.4	. . . . 5 |- B e. H~
10		0cn 5300	. . . . . 6 |- 0 e. CC
11	10	elimel 2384	. . . . 5 |- if(y e. CC, y, 0) e. CC
12	6, 7, 8, 9, 11	lnopunilem1 9850	. . . 4 |- (Re` (if(y e. CC, y, 0) x. ((T` A) .ih (T` B)))) = (Re` (if(y e. CC, y, 0) x. (A .ih B)))
13	5, 12	dedth 2373	. . 3 |- (y e. CC -> (Re` (y x. ((T` A) .ih (T` B)))) = (Re` (y x. (A .ih B))))
14	13	rgen 1690	. 2 |- A.y e. CC (Re` (y x. ((T` A) .ih (T` B)))) = (Re` (y x. (A .ih B)))
15	6	lnopf 9809	. . . . . 6 |- T:H~-->H~
16	15	ffvelrni 3800	. . . . 5 |- (A e. H~ -> (T` A) e. H~)
17	8, 16	ax-mp 7	. . . 4 |- (T` A) e. H~
18	15	ffvelrni 3800	. . . . 5 |- (B e. H~ -> (T` B) e. H~)
19	9, 18	ax-mp 7	. . . 4 |- (T` B) e. H~
20	17, 19	hicl 8869	. . 3 |- ((T` A) .ih (T` B)) e. CC
21	8, 9	hicl 8869	. . 3 |- (A .ih B) e. CC
22		recant 6842	. . 3 |- ((((T` A) .ih (T` B)) e. CC /\ (A .ih B) e. CC) -> (A.y e. CC (Re` (y x. ((T` A) .ih (T` B)))) = (Re` (y x. (A .ih B))) <-> ((T` A) .ih (T` B)) = (A .ih B)))
23	20, 21, 22	mp2an 695	. 2 |- (A.y e. CC (Re` (y x. ((T` A) .ih (T` B)))) = (Re` (y x. (A .ih B))) <-> ((T` A) .ih (T` B)) = (A .ih B))
24	14, 23	mpbi 189	1 |- ((T` A) .ih (T` B)) = (A .ih B)

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  ifcif 2351  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206   x. cmul 5211  Recre 6678  H~chil 8727   .ih csp 8732  normhcno 8733  LinOpclo 8755

This theorem is referenced by:  lnopuni 9852

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hv0cl 8794  ax-hfvmul 8796  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-hnorm 8776  df-lnop 9684

Copyright terms: Public domain