Theorem lnopuni 10066

Description: If a linear operator (whose range is H~) is idempotent in the norm, the operator is unitary. Similar to theorem in [AkhiezerGlazman] p. 73.

Hypotheses

Ref	Expression
lnopuni.1	|- T e. LinOp
lnopuni.2	|- T:H~-onto->H~
lnopuni.3	|- A.x e. H~ (normh` (T` x)) = (normh` x)

Assertion

Ref	Expression
lnopuni	|- T e. UniOp

Distinct variable group:   x,T

Proof of Theorem lnopuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elunopt 9930	. 2 |- (T e. UniOp <-> (T:H~-onto->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ ((T` x) .ih (T` y)) = (x .ih y)))
2		lnopuni.2	. 2 |- T:H~-onto->H~
3		fveq2 3663	. . . . . 6 |- (x = if(x e. H~, x, 0h) -> (T` x) = (T` if(x e. H~, x, 0h)))
4	3	opreq1d 3914	. . . . 5 |- (x = if(x e. H~, x, 0h) -> ((T` x) .ih (T` y)) = ((T` if(x e. H~, x, 0h)) .ih (T` y)))
5		opreq1 3907	. . . . 5 |- (x = if(x e. H~, x, 0h) -> (x .ih y) = (if(x e. H~, x, 0h) .ih y))
6	4, 5	eqeq12d 1465	. . . 4 |- (x = if(x e. H~, x, 0h) -> (((T` x) .ih (T` y)) = (x .ih y) <-> ((T` if(x e. H~, x, 0h)) .ih (T` y)) = (if(x e. H~, x, 0h) .ih y)))
7		fveq2 3663	. . . . . 6 |- (y = if(y e. H~, y, 0h) -> (T` y) = (T` if(y e. H~, y, 0h)))
8	7	opreq2d 3915	. . . . 5 |- (y = if(y e. H~, y, 0h) -> ((T` if(x e. H~, x, 0h)) .ih (T` y)) = ((T` if(x e. H~, x, 0h)) .ih (T` if(y e. H~, y, 0h))))
9		opreq2 3908	. . . . 5 |- (y = if(y e. H~, y, 0h) -> (if(x e. H~, x, 0h) .ih y) = (if(x e. H~, x, 0h) .ih if(y e. H~, y, 0h)))
10	8, 9	eqeq12d 1465	. . . 4 |- (y = if(y e. H~, y, 0h) -> (((T` if(x e. H~, x, 0h)) .ih (T` y)) = (if(x e. H~, x, 0h) .ih y) <-> ((T` if(x e. H~, x, 0h)) .ih (T` if(y e. H~, y, 0h))) = (if(x e. H~, x, 0h) .ih if(y e. H~, y, 0h))))
11		lnopuni.1	. . . . 5 |- T e. LinOp
12		lnopuni.3	. . . . 5 |- A.x e. H~ (normh` (T` x)) = (normh` x)
13		ax-hv0cl 9021	. . . . . 6 |- 0h e. H~
14	13	elimel 2365	. . . . 5 |- if(x e. H~, x, 0h) e. H~
15	13	elimel 2365	. . . . 5 |- if(y e. H~, y, 0h) e. H~
16	11, 12, 14, 15	lnopunilem2 10065	. . . 4 |- ((T` if(x e. H~, x, 0h)) .ih (T` if(y e. H~, y, 0h))) = (if(x e. H~, x, 0h) .ih if(y e. H~, y, 0h))
17	6, 10, 16	dedth2h 2358	. . 3 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> ((T` x) .ih (T` y)) = (x .ih y))
18	17	rgen2a 1675	. 2 |- A.x e. H~ A.y e. H~ ((T` x) .ih (T` y)) = (x .ih y)
19	1, 2, 18	mpbir2an 727	1 |- T e. UniOp

Syntax hints:   = wceq 1099   e. wcel 1105  A.wral 1621  ifcif 2332  -onto->wfo 3143  ` cfv 3145  (class class class)co 3902  H~chil 8968  0hc0v 8971   .ih csp 8973  normhcno 8974  LinOpclo 8996  UniOpcuo 8998

This theorem is referenced by:  elunop2t 10067

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549  ax-hilex 9017  ax-hfvadd 9018  ax-hv0cl 9021  ax-hfvmul 9023  ax-hvmul0 9028  ax-hfi 9095  ax-his1 9098  ax-his2 9099  ax-his3 9100  ax-his4 9101

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-nel 1564  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-en 4305  df-dom 4306  df-sdom 4307  df-sup 4500  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-ltr 5093  df-0r 5094  df-1r 5095  df-m1r 5096  df-c 5163  df-0 5164  df-1 5165  df-i 5166  df-r 5167  df-plus 5168  df-mul 5169  df-lt 5170  df-sub 5279  df-neg 5281  df-pnf 5410  df-mnf 5411  df-xr 5412  df-ltxr 5413  df-le 5414  df-div 5623  df-n 5824  df-2 5868  df-n0 5998  df-z 6034  df-seq1 6196  df-exp 6452  df-sqr 6551  df-re 6633  df-im 6634  df-cj 6635  df-hnorm 9137  df-lnop 9898  df-unop 9900

Copyright terms: Public domain