Theorem lnophmt 9944

Description: A linear operator is Hermitian if x .ih (T` x) takes only real values. Remark in [ReedSimon] p. 195.

Assertion

Ref	Expression
lnophmt	|- ((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR) -> T e. HrmOp)

Distinct variable group:   x,T

Proof of Theorem lnophmt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1534	. 2 |- (T = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> (T e. HrmOp <-> if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) e. HrmOp))
2		eleq1 1534	. . . . . 6 |- (T = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> (T e. LinOp <-> if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) e. LinOp))
3		fveq1 3723	. . . . . . . . . 10 |- (T = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> (T` y) = (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y))
4	3	opreq2d 3976	. . . . . . . . 9 |- (T = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> (y .ih (T` y)) = (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y)))
5	4	eleq1d 1540	. . . . . . . 8 |- (T = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> ((y .ih (T` y)) e. RR <-> (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y)) e. RR))
6	5	ralbidv 1663	. . . . . . 7 |- (T = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> (A.y e. H~ (y .ih (T` y)) e. RR <-> A.y e. H~ (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y)) e. RR))
7		id 59	. . . . . . . . . 10 |- (x = y -> x = y)
8		fveq2 3724	. . . . . . . . . 10 |- (x = y -> (T` x) = (T` y))
9	7, 8	opreq12d 3978	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> (x .ih (T` x)) = (y .ih (T` y)))
10	9	eleq1d 1540	. . . . . . . 8 |- (x = y -> ((x .ih (T` x)) e. RR <-> (y .ih (T` y)) e. RR))
11	10	cbvralv 1800	. . . . . . 7 |- (A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR <-> A.y e. H~ (y .ih (T` y)) e. RR)
12	6, 11	syl5bb 532	. . . . . 6 |- (T = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> (A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR <-> A.y e. H~ (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y)) e. RR))
13	2, 12	anbi12d 628	. . . . 5 |- (T = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> ((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR) <-> (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) e. LinOp /\ A.y e. H~ (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y)) e. RR)))
14		eleq1 1534	. . . . . 6 |- ((I |` H~) = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> ((I |` H~) e. LinOp <-> if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) e. LinOp))
15		fveq1 3723	. . . . . . . . 9 |- ((I |` H~) = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> ((I |` H~)` y) = (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y))
16	15	opreq2d 3976	. . . . . . . 8 |- ((I |` H~) = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> (y .ih ((I |` H~)` y)) = (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y)))
17	16	eleq1d 1540	. . . . . . 7 |- ((I |` H~) = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> ((y .ih ((I |` H~)` y)) e. RR <-> (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y)) e. RR))
18	17	ralbidv 1663	. . . . . 6 |- ((I |` H~) = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> (A.y e. H~ (y .ih ((I |` H~)` y)) e. RR <-> A.y e. H~ (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y)) e. RR))
19	14, 18	anbi12d 628	. . . . 5 |- ((I |` H~) = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> (((I |` H~) e. LinOp /\ A.y e. H~ (y .ih ((I |` H~)` y)) e. RR) <-> (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) e. LinOp /\ A.y e. H~ (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y)) e. RR)))
20		idlnop 9917	. . . . . 6 |- (I |` H~) e. LinOp
21		fvresi 3843	. . . . . . . . 9 |- (y e. H~ -> ((I |` H~)` y) = y)
22	21	opreq2d 3976	. . . . . . . 8 |- (y e. H~ -> (y .ih ((I |` H~)` y)) = (y .ih y))
23		hiidrclt 8961	. . . . . . . 8 |- (y e. H~ -> (y .ih y) e. RR)
24	22, 23	eqeltrd 1548	. . . . . . 7 |- (y e. H~ -> (y .ih ((I |` H~)` y)) e. RR)
25	24	rgen 1698	. . . . . 6 |- A.y e. H~ (y .ih ((I |` H~)` y)) e. RR
26	20, 25	pm3.2i 285	. . . . 5 |- ((I |` H~) e. LinOp /\ A.y e. H~ (y .ih ((I |` H~)` y)) e. RR)
27	13, 19, 26	elimhyp 2390	. . . 4 |- (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) e. LinOp /\ A.y e. H~ (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y)) e. RR)
28	27	pm3.26i 320	. . 3 |- if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) e. LinOp
29	27	pm3.27i 324	. . 3 |- A.y e. H~ (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y)) e. RR
30	28, 29	lnophm 9943	. 2 |- if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) e. HrmOp
31	1, 30	dedth 2383	1 |- ((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR) -> T e. HrmOp)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  ifcif 2361  Icid 2831   |` cres 3172  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233  H~chil 8788   .ih csp 8793  LinOpclo 8816  HrmOpcho 8819

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvmulass 8877  ax-hvdistr1 8878  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951  ax-his4 8952

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup