Theorem lnopeq0lem1 9930

Description: Lemma for lnopeq0 9932. Apply the generalized polarization identity polid2 9024 to the quadratic form ((T` x), x).

Hypotheses

Ref	Expression
lnopeq0.1	|- T e. LinOp
lnopeq0lem1.2	|- A e. H~
lnopeq0lem1.3	|- B e. H~

Assertion

Ref	Expression
lnopeq0lem1	|- ((T` A) .ih B) = (((((T` (A +h B)) .ih (A +h B)) - ((T` (A -h B)) .ih (A -h B))) + (i x. (((T` (A +h (i .h B))) .ih (A +h (i .h B))) - ((T` (A -h (i .h B))) .ih (A -h (i .h B)))))) / 4)

Proof of Theorem lnopeq0lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopeq0lem1.2	. . . 4 |- A e. H~
2		lnopeq0.1	. . . . . 6 |- T e. LinOp
3	2	lnopf 9893	. . . . 5 |- T:H~-->H~
4	3	ffvelrni 3815	. . . 4 |- (A e. H~ -> (T` A) e. H~)
5	1, 4	ax-mp 7	. . 3 |- (T` A) e. H~
6		lnopeq0lem1.3	. . 3 |- B e. H~
7	3	ffvelrni 3815	. . . 4 |- (B e. H~ -> (T` B) e. H~)
8	6, 7	ax-mp 7	. . 3 |- (T` B) e. H~
9	5, 6, 8, 1	polid2 9024	. 2 |- ((T` A) .ih B) = ((((((T` A) +h (T` B)) .ih (A +h B)) - (((T` A) -h (T` B)) .ih (A -h B))) + (i x. ((((T` A) +h (i .h (T` B))) .ih (A +h (i .h B))) - (((T` A) -h (i .h (T` B))) .ih (A -h (i .h B)))))) / 4)
10	2	lnopadd 9895	. . . . . . 7 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (T` (A +h B)) = ((T` A) +h (T` B)))
11	1, 6, 10	mp2an 697	. . . . . 6 |- (T` (A +h B)) = ((T` A) +h (T` B))
12	11	opreq1i 3971	. . . . 5 |- ((T` (A +h B)) .ih (A +h B)) = (((T` A) +h (T` B)) .ih (A +h B))
13	2	lnopsub 9898	. . . . . . 7 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (T` (A -h B)) = ((T` A) -h (T` B)))
14	1, 6, 13	mp2an 697	. . . . . 6 |- (T` (A -h B)) = ((T` A) -h (T` B))
15	14	opreq1i 3971	. . . . 5 |- ((T` (A -h B)) .ih (A -h B)) = (((T` A) -h (T` B)) .ih (A -h B))
16	12, 15	opreq12i 3973	. . . 4 |- (((T` (A +h B)) .ih (A +h B)) - ((T` (A -h B)) .ih (A -h B))) = ((((T` A) +h (T` B)) .ih (A +h B)) - (((T` A) -h (T` B)) .ih (A -h B)))
17		axicn 5270	. . . . . . . 8 |- i e. CC
18	2	lnopaddmul 9897	. . . . . . . 8 |- ((i e. CC /\ A e. H~ /\ B e. H~) -> (T` (A +h (i .h B))) = ((T` A) +h (i .h (T` B))))
19	17, 1, 6, 18	mp3an 916	. . . . . . 7 |- (T` (A +h (i .h B))) = ((T` A) +h (i .h (T` B)))
20	19	opreq1i 3971	. . . . . 6 |- ((T` (A +h (i .h B))) .ih (A +h (i .h B))) = (((T` A) +h (i .h (T` B))) .ih (A +h (i .h B)))
21	2	lnopsubmul 9899	. . . . . . . 8 |- ((i e. CC /\ A e. H~ /\ B e. H~) -> (T` (A -h (i .h B))) = ((T` A) -h (i .h (T` B))))
22	17, 1, 6, 21	mp3an 916	. . . . . . 7 |- (T` (A -h (i .h B))) = ((T` A) -h (i .h (T` B)))
23	22	opreq1i 3971	. . . . . 6 |- ((T` (A -h (i .h B))) .ih (A -h (i .h B))) = (((T` A) -h (i .h (T` B))) .ih (A -h (i .h B)))
24	20, 23	opreq12i 3973	. . . . 5 |- (((T` (A +h (i .h B))) .ih (A +h (i .h B))) - ((T` (A -h (i .h B))) .ih (A -h (i .h B)))) = ((((T` A) +h (i .h (T` B))) .ih (A +h (i .h B))) - (((T` A) -h (i .h (T` B))) .ih (A -h (i .h B))))
25	24	opreq2i 3972	. . . 4 |- (i x. (((T` (A +h (i .h B))) .ih (A +h (i .h B))) - ((T` (A -h (i .h B))) .ih (A -h (i .h B))))) = (i x. ((((T` A) +h (i .h (T` B))) .ih (A +h (i .h B))) - (((T` A) -h (i .h (T` B))) .ih (A -h (i .h B)))))
26	16, 25	opreq12i 3973	. . 3 |- ((((T` (A +h B)) .ih (A +h B)) - ((T` (A -h B)) .ih (A -h B))) + (i x. (((T` (A +h (i .h B))) .ih (A +h (i .h B))) - ((T` (A -h (i .h B))) .ih (A -h (i .h B)))))) = (((((T` A) +h (T` B)) .ih (A +h B)) - (((T` A) -h (T` B)) .ih (A -h B))) + (i x. ((((T` A) +h (i .h (T` B))) .ih (A +h (i .h B))) - (((T` A) -h (i .h (T` B))) .ih (A -h (i .h B))))))
27	26	opreq1i 3971	. 2 |- (((((T` (A +h B)) .ih (A +h B)) - ((T` (A -h B)) .ih (A -h B))) + (i x. (((T` (A +h (i .h B))) .ih (A +h (i .h B))) - ((T` (A -h (i .h B))) .ih (A -h (i .h B)))))) / 4) = ((((((T` A) +h (T` B)) .ih (A +h B)) - (((T` A) -h (T` B)) .ih (A -h B))) + (i x. ((((T` A) +h (i .h (T` B))) .ih (A +h (i .h B))) - (((T` A) -h (i .h (T` B))) .ih (A -h (i .h B)))))) / 4)
28	9, 27	eqtr4 1498	1 |- ((T` A) .ih B) = (((((T` (A +h B)) .ih (A +h B)) - ((T` (A -h B)) .ih (A -h B))) + (i x. (((T` (A +h (i .h B))) .ih (A +h (i .h B))) - ((T` (A -h (i .h B))) .ih (A -h (i .h B)))))) / 4)

Syntax hints:   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  ici 5236   + caddc 5237   x. cmul 5239   - cmin 5292   / cdiv 5294  4c4 5963  H~chil 8788   +h cva 8789   .h csm 8790   -h cmv 8792   .ih csp 8793  LinOpclo 8816

This theorem is referenced by:  lnopeq0lem2 9931

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-hvsub 8840  df-lnop 9767

Copyright terms: Public domain