Theorem lnopco 9928

Description: The composition of two linear operators is linear.

Hypotheses

Ref	Expression
lnopco.1	|- S e. LinOp
lnopco.2	|- T e. LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopco	|- (S o. T) e. LinOp

Proof of Theorem lnopco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellnopt 9784	. 2 |- ((S o. T) e. LinOp <-> ((S o. T):H~-->H~ /\ A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ ((S o. T)` ((x .h y) +h z)) = ((x .h ((S o. T)` y)) +h ((S o. T)` z))))
2		lnopco.1	. . . 4 |- S e. LinOp
3	2	lnopf 9893	. . 3 |- S:H~-->H~
4		lnopco.2	. . . 4 |- T e. LinOp
5	4	lnopf 9893	. . 3 |- T:H~-->H~
6	3, 5	hocof 9692	. 2 |- (S o. T):H~-->H~
7	4	lnopl 9892	. . . . . . . 8 |- ((x e. CC /\ y e. H~ /\ z e. H~) -> (T` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (T` y)) +h (T` z)))
8	7	fveq2d 3728	. . . . . . 7 |- ((x e. CC /\ y e. H~ /\ z e. H~) -> (S` (T` ((x .h y) +h z))) = (S` ((x .h (T` y)) +h (T` z))))
9	2	lnopl 9892	. . . . . . . 8 |- ((x e. CC /\ (T` y) e. H~ /\ (T` z) e. H~) -> (S` ((x .h (T` y)) +h (T` z))) = ((x .h (S` (T` y))) +h (S` (T` z))))
10		id 59	. . . . . . . 8 |- (x e. CC -> x e. CC)
11	5	ffvelrni 3815	. . . . . . . 8 |- (y e. H~ -> (T` y) e. H~)
12	5	ffvelrni 3815	. . . . . . . 8 |- (z e. H~ -> (T` z) e. H~)
13	9, 10, 11, 12	syl3an 868	. . . . . . 7 |- ((x e. CC /\ y e. H~ /\ z e. H~) -> (S` ((x .h (T` y)) +h (T` z))) = ((x .h (S` (T` y))) +h (S` (T` z))))
14	8, 13	eqtrd 1507	. . . . . 6 |- ((x e. CC /\ y e. H~ /\ z e. H~) -> (S` (T` ((x .h y) +h z))) = ((x .h (S` (T` y))) +h (S` (T` z))))
15	14	3expa 833	. . . . 5 |- (((x e. CC /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> (S` (T` ((x .h y) +h z))) = ((x .h (S` (T` y))) +h (S` (T` z))))
16		hvaddclt 8882	. . . . . . 7 |- (((x .h y) e. H~ /\ z e. H~) -> ((x .h y) +h z) e. H~)
17		hvmulclt 8883	. . . . . . 7 |- ((x e. CC /\ y e. H~) -> (x .h y) e. H~)
18	16, 17	sylan 448	. . . . . 6 |- (((x e. CC /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> ((x .h y) +h z) e. H~)
19		ffun 3629	. . . . . . . 8 |- (S:H~-->H~ -> Fun S)
20	3, 19	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- Fun S
21		fvco3 3776	. . . . . . 7 |- ((Fun S /\ T:H~-->H~ /\ ((x .h y) +h z) e. H~) -> ((S o. T)` ((x .h y) +h z)) = (S` (T` ((x .h y) +h z))))
22	20, 5, 21	mp3an12 906	. . . . . 6 |- (((x .h y) +h z) e. H~ -> ((S o. T)` ((x .h y) +h z)) = (S` (T` ((x .h y) +h z))))
23	18, 22	syl 10	. . . . 5 |- (((x e. CC /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> ((S o. T)` ((x .h y) +h z)) = (S` (T` ((x .h y) +h z))))
24	3, 5	hoco 9690	. . . . . . . 8 |- (y e. H~ -> ((S o. T)` y) = (S` (T` y)))
25	24	opreq2d 3976	. . . . . . 7 |- (y e. H~ -> (x .h ((S o. T)` y)) = (x .h (S` (T` y))))
26	25	adantl 388	. . . . . 6 |- ((x e. CC /\ y e. H~) -> (x .h ((S o. T)` y)) = (x .h (S` (T` y))))
27	3, 5	hoco 9690	. . . . . 6 |- (z e. H~ -> ((S o. T)` z) = (S` (T` z)))
28	26, 27	opreqan12d 3979	. . . . 5 |- (((x e. CC /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> ((x .h ((S o. T)` y)) +h ((S o. T)` z)) = ((x .h (S` (T` y))) +h (S` (T` z))))
29	15, 23, 28	3eqtr4d 1517	. . . 4 |- (((x e. CC /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> ((S o. T)` ((x .h y) +h z)) = ((x .h ((S o. T)` y)) +h ((S o. T)` z)))
30	29	3impa 828	. . 3 |- ((x e. CC /\ y e. H~ /\ z e. H~) -> ((S o. T)` ((x .h y) +h z)) = ((x .h ((S o. T)` y)) +h ((S o. T)` z)))
31	30	rgen3 1724	. 2 |- A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ ((S o. T)` ((x .h y) +h z)) = ((x .h ((S o. T)` y)) +h ((S o. T)` z))
32	1, 6, 31	mpbir2an 730	1 |- (S o. T) e. LinOp

Syntax hints:   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   o. ccom 3174  Fun wfun 3176  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  H~chil 8788   +h cva 8789   .h csm 8790  LinOpclo 8816

This theorem is referenced by:  lnopco0 9929  nmopco 10028  bdopco 10031  nmopcoadj0 10036

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hfvmul 8875

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-lnop 9767

Copyright terms: Public domain