Theorem lnof 8416

Description: A linear operator is a mapping.

Hypotheses

Ref	Expression
lnof.1	|- X = (Base` U)
lnof.2	|- Y = (Base` W)
lnof.7	|- L = (U LnOp W)

Assertion

Ref	Expression
lnof	|- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> T:X-->Y)

Proof of Theorem lnof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnof.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
2		lnof.2	. . . 4 |- Y = (Base` W)
3		eqid 1475	. . . 4 |- (+v` U) = (+v` U)
4		eqid 1475	. . . 4 |- (+v` W) = (+v` W)
5		eqid 1475	. . . 4 |- (.s` U) = (.s` U)
6		eqid 1475	. . . 4 |- (.s` W) = (.s` W)
7		lnof.7	. . . 4 |- L = (U LnOp W)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	islno 8414	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (T e. L <-> (T:X-->Y /\ A.x e. X A.y e. CC A.z e. X (T` (x(+v` U)(y(.s` U)z))) = ((T` x)(+v` W)(y(.s` W)(T` z))))))
9	8	pm3.26bda 420	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ T e. L) -> T:X-->Y)
10	9	3impa 828	1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> T:X-->Y)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  NrmCVeccnv 8203  +vcpv 8204  Basecba 8205  .scns 8206   LnOp clno 8401

This theorem is referenced by:  lno0 8417  lnocoi 8418  lnoadd 8419  lnosub 8420  lnomul 8421  nvcnpi3 8422  nvcnpi4 8423  isblo2 8443  blof 8445  nmlno0lem 8453  nmlnoubi 8456  nmlnogt0 8457  lnon0 8458  isblo3i 8461  blocnilem 8464  blocni 8465  htthlem1 8620  htthlem6 8625  htthlem7 8626  htthlem12 8631

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-lno 8405

Copyright terms: Public domain