Theorem lnfnl 9969

Description: Basic property of a linear Hilbert space functional.

Hypothesis

Ref	Expression
lnfnl.1	|- T e. LinFn

Assertion

Ref	Expression
lnfnl	|- ((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> (T` ((A .h B) +h C)) = ((A x. (T` B)) + (T` C)))

Proof of Theorem lnfnl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnfnl.1	. . 3 |- T e. LinFn
2		lnfnlt 9855	. . 3 |- (((T e. LinFn /\ A e. CC) /\ (B e. H~ /\ C e. H~)) -> (T` ((A .h B) +h C)) = ((A x. (T` B)) + (T` C)))
3	1, 2	mpanl1 706	. 2 |- ((A e. CC /\ (B e. H~ /\ C e. H~)) -> (T` ((A .h B) +h C)) = ((A x. (T` B)) + (T` C)))
4	3	3impb 829	1 |- ((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> (T` ((A .h B) +h C)) = ((A x. (T` B)) + (T` C)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232   + caddc 5237   x. cmul 5239  H~chil 8788   +h cva 8789   .h csm 8790  LinFnclf 8823

This theorem is referenced by:  lnfn0 9971  lnfnadd 9972  lnfnmul 9973

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-lnfn 9774

Copyright terms: Public domain