Theorem lmclim 7898

Description: Relate a limit on the metric space of complex numbers to our complex number limit notation.

Hypothesis

Ref	Expression
lmclim.1	|- D = (abs o. - )

Assertion

Ref	Expression
lmclim	|- (P e. A -> (F(~~>m` D)P <-> (F (_ (CC X. CC) /\ F ~~> P)))

Proof of Theorem lmclim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmclim.1	. . . 4 |- D = (abs o. - )
2	1	cnmet 7843	. . 3 |- D e. Met
3	1	cnmetba 7842	. . . 4 |- CC = dom dom D
4	3	lmbr 7866	. . 3 |- ((D e. Met /\ P e. A) -> (F(~~>m` D)P <-> (F (_ (CC X. CC) /\ P e. CC /\ A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w))))))
5	2, 4	mpan 693	. 2 |- (P e. A -> (F(~~>m` D)P <-> (F (_ (CC X. CC) /\ P e. CC /\ A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w))))))
6		clim 6915	. . . . . . 7 |- ((F e. V /\ P e. A) -> (F ~~> P <-> (P e. CC /\ A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - P)) < w))))))
7		axcnex 5239	. . . . . . . . 9 |- CC e. V
8	7, 7	xpex 3250	. . . . . . . 8 |- (CC X. CC) e. V
9	8	ssex 2709	. . . . . . 7 |- (F (_ (CC X. CC) -> F e. V)
10	6, 9	sylan 448	. . . . . 6 |- ((F (_ (CC X. CC) /\ P e. A) -> (F ~~> P <-> (P e. CC /\ A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - P)) < w))))))
11	1	cnmetdval 7841	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F` k) e. CC /\ P e. CC) -> ((F` k)DP) = (abs` ((F` k) - P)))
12	11	ancoms 436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((P e. CC /\ (F` k) e. CC) -> ((F` k)DP) = (abs` ((F` k) - P)))
13	12	breq1d 2619	. . . . . . . . . . . 12 |- ((P e. CC /\ (F` k) e. CC) -> (((F` k)DP) < w <-> (abs` ((F` k) - P)) < w))
14	13	pm5.32da 647	. . . . . . . . . . 11 |- (P e. CC -> (((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w) <-> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - P)) < w)))
15	14	imbi2d 610	. . . . . . . . . 10 |- (P e. CC -> ((j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w)) <-> (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - P)) < w))))
16	15	rexralbidv 1674	. . . . . . . . 9 |- (P e. CC -> (E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w)) <-> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - P)) < w))))
17	16	imbi2d 610	. . . . . . . 8 |- (P e. CC -> ((0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w))) <-> (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - P)) < w)))))
18	17	ralbidv 1655	. . . . . . 7 |- (P e. CC -> (A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w))) <-> A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - P)) < w)))))
19	18	pm5.32i 643	. . . . . 6 |- ((P e. CC /\ A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w)))) <-> (P e. CC /\ A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - P)) < w)))))
20	10, 19	syl6rbbr 537	. . . . 5 |- ((F (_ (CC X. CC) /\ P e. A) -> ((P e. CC /\ A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w)))) <-> F ~~> P))
21	20	ancoms 436	. . . 4 |- ((P e. A /\ F (_ (CC X. CC)) -> ((P e. CC /\ A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w)))) <-> F ~~> P))
22	21	pm5.32da 647	. . 3 |- (P e. A -> ((F (_ (CC X. CC) /\ (P e. CC /\ A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w))))) <-> (F (_ (CC X. CC) /\ F ~~> P)))
23		3anass 777	. . 3 |- ((F (_ (CC X. CC) /\ P e. CC /\ A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w)))) <-> (F (_ (CC X. CC) /\ (P e. CC /\ A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w))))))
24	22, 23	syl5bb 530	. 2 |- (P e. A -> ((F (_ (CC X. CC) /\ P e. CC /\ A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w)))) <-> (F (_ (CC X. CC) /\ F ~~> P)))
25	5, 24	bitrd 526	1 |- (P e. A -> (F(~~>m` D)P <-> (F (_ (CC X. CC) /\ F ~~> P)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  E.wrex 1638  Vcvv 1802   (_ wss 2037   class class class wbr 2609   X. cxp 3158   o. ccom 3164  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206   - cmin 5264   <_ cle 5267  ZZcz 5270   < clt 5458  abscabs 6681   ~~> cli 6912  Metcme 7728  ~~>mclm 7857

This theorem is referenced by:  lmclimnn 7899

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-clim 6913  df-met 7732  df-lm 7860

Copyright terms: Public domain