Theorem lmbrf 7930

Description: Express the binary relation "sequence F converges to point P " in a metric space using an abitrary set of upper integers. This version of lmbr2 7929 presupposes that F is a function.

Hypotheses

Ref	Expression
lmbr.1	|- X = dom dom D
lmbr2.3	|- N e. ZZ
lmbr2.4	|- Z = (ZZ>` N)

Assertion

Ref	Expression
lmbrf	|- ((D e. Met /\ P e. A /\ F:Z-->X) -> (F(~~>m` D)P <-> (P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k)DP) < x)))))

Distinct variable groups:   j,k,x,F   D,j,k,x   P,j,k,x   j,N,k   j,X,k,x   j,Z,k,x

Proof of Theorem lmbrf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmbr.1	. . . 4 |- X = dom dom D
2		lmbr2.3	. . . 4 |- N e. ZZ
3		lmbr2.4	. . . 4 |- Z = (ZZ>` N)
4	1, 2, 3	lmbr2 7929	. . 3 |- ((D e. Met /\ P e. A) -> (F(~~>m` D)P <-> (F (_ (CC X. X) /\ P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x))))))
5	4	3adant3 799	. 2 |- ((D e. Met /\ P e. A /\ F:Z-->X) -> (F(~~>m` D)P <-> (F (_ (CC X. X) /\ P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x))))))
6		fssxp 3637	. . . . . . 7 |- (F:Z-->X -> F (_ (Z X. X))
7		uzssz 6430	. . . . . . . . . . 11 |- (ZZ>` N) (_ ZZ
8		zsscn 6143	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ (_ CC
9	7, 8	sstri 2073	. . . . . . . . . 10 |- (ZZ>` N) (_ CC
10	3, 9	eqsstr 2091	. . . . . . . . 9 |- Z (_ CC
11		ssid 2080	. . . . . . . . 9 |- X (_ X
12		ssxp 3256	. . . . . . . . 9 |- ((Z (_ CC /\ X (_ X) -> (Z X. X) (_ (CC X. X))
13	10, 11, 12	mp2an 697	. . . . . . . 8 |- (Z X. X) (_ (CC X. X)
14		sstr 2072	. . . . . . . 8 |- ((F (_ (Z X. X) /\ (Z X. X) (_ (CC X. X)) -> F (_ (CC X. X))
15	13, 14	mpan2 696	. . . . . . 7 |- (F (_ (Z X. X) -> F (_ (CC X. X))
16	6, 15	syl 10	. . . . . 6 |- (F:Z-->X -> F (_ (CC X. X))
17	16	biantrurd 727	. . . . 5 |- (F:Z-->X -> ((P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x)))) <-> (F (_ (CC X. X) /\ (P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x)))))))
18		3anass 779	. . . . 5 |- ((F (_ (CC X. X) /\ P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x)))) <-> (F (_ (CC X. X) /\ (P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x))))))
19	17, 18	syl6rbbr 539	. . . 4 |- (F:Z-->X -> ((F (_ (CC X. X) /\ P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x)))) <-> (P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x))))))
20		ffvelrn 3814	. . . . . . . . . . 11 |- ((F:Z-->X /\ k e. Z) -> (F` k) e. X)
21	20	biantrurd 727	. . . . . . . . . 10 |- ((F:Z-->X /\ k e. Z) -> (((F` k)DP) < x <-> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x)))
22	21	imbi2d 612	. . . . . . . . 9 |- ((F:Z-->X /\ k e. Z) -> ((j <_ k -> ((F` k)DP) < x) <-> (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x))))
23	22	ralbidva 1659	. . . . . . . 8 |- (F:Z-->X -> (A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k)DP) < x) <-> A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x))))
24	23	rexbidv 1664	. . . . . . 7 |- (F:Z-->X -> (E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k)DP) < x) <-> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x))))
25	24	imbi2d 612	. . . . . 6 |- (F:Z-->X -> ((0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k)DP) < x)) <-> (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x)))))
26	25	ralbidv 1663	. . . . 5 |- (F:Z-->X -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k)DP) < x)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x)))))
27	26	anbi2d 616	. . . 4 |- (F:Z-->X -> ((P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k)DP) < x))) <-> (P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x))))))
28	19, 27	bitr4d 531	. . 3 |- (F:Z-->X -> ((F (_ (CC X. X) /\ P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x)))) <-> (P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k)DP) < x)))))
29	28	3ad2ant3 802	. 2 |- ((D e. Met /\ P e. A /\ F:Z-->X) -> ((F (_ (CC X. X) /\ P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x)))) <-> (P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k)DP) < x)))))
30	5, 29	bitrd 528	1 |- ((D e. Met /\ P e. A /\ F:Z-->X) -> (F(~~>m` D)P <-> (P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k)DP) < x)))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   (_ wss 2047   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  dom cdm 3170  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234   <_ cle 5295  ZZcz 5298   < clt 5486  ZZ>cuz 6417  Metcme 7789  ~~>mclm 7919

This theorem is referenced by:  lmbrf2 7931  lmnn 7935  lmss 7953  lmfexlem3 7958  xplmi 7973  xplm 7975

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-ltp 5090  df-enr 5166  df-nr 5167  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-c 5240  df-r 5244  df-lt 5247  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-z 6136  df-uz 6418  df-lm 7922

Copyright terms: Public domain