Theorem limuni3 3113

Description: The union of a nonempty class of limit ordinals is a limit ordinal.

Assertion

Ref	Expression
limuni3	|- ((A =/= (/) /\ A.x e. A Lim x) -> Lim U.A)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem limuni3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limeq 2950	. . . . . . . 8 |- (x = z -> (Lim x <-> Lim z))
2	1	rcla4v 1864	. . . . . . 7 |- (z e. A -> (A.x e. A Lim x -> Lim z))
3		visset 1804	. . . . . . . 8 |- z e. V
4		limelon 3022	. . . . . . . 8 |- ((z e. V /\ Lim z) -> z e. On)
5	3, 4	mpan 693	. . . . . . 7 |- (Lim z -> z e. On)
6	2, 5	syl6com 53	. . . . . 6 |- (A.x e. A Lim x -> (z e. A -> z e. On))
7	6	ssrdv 2060	. . . . 5 |- (A.x e. A Lim x -> A (_ On)
8		ssorduni 2983	. . . . 5 |- (A (_ On -> Ord U.A)
9	7, 8	syl 10	. . . 4 |- (A.x e. A Lim x -> Ord U.A)
10	9	adantl 388	. . 3 |- ((A =/= (/) /\ A.x e. A Lim x) -> Ord U.A)
11		ne0 2278	. . . . 5 |- (A =/= (/) <-> E.z z e. A)
12		elunii 2498	. . . . . . . . 9 |- (((/) e. z /\ z e. A) -> (/) e. U.A)
13	12	expcom 374	. . . . . . . 8 |- (z e. A -> ((/) e. z -> (/) e. U.A))
14		0ellim 3021	. . . . . . . 8 |- (Lim z -> (/) e. z)
15	13, 14	syl5 21	. . . . . . 7 |- (z e. A -> (Lim z -> (/) e. U.A))
16	2, 15	syld 27	. . . . . 6 |- (z e. A -> (A.x e. A Lim x -> (/) e. U.A))
17	16	19.23aiv 1290	. . . . 5 |- (E.z z e. A -> (A.x e. A Lim x -> (/) e. U.A))
18	11, 17	sylbi 199	. . . 4 |- (A =/= (/) -> (A.x e. A Lim x -> (/) e. U.A))
19	18	imp 350	. . 3 |- ((A =/= (/) /\ A.x e. A Lim x) -> (/) e. U.A)
20	1	rcla4cv 1865	. . . . . . . 8 |- (A.x e. A Lim x -> (z e. A -> Lim z))
21		limsuc 3110	. . . . . . . . . . . 12 |- (Lim z -> (y e. z <-> suc y e. z))
22	21	anbi1d 615	. . . . . . . . . . 11 |- (Lim z -> ((y e. z /\ z e. A) <-> (suc y e. z /\ z e. A)))
23		elunii 2498	. . . . . . . . . . 11 |- ((suc y e. z /\ z e. A) -> suc y e. U.A)
24	22, 23	syl6bi 214	. . . . . . . . . 10 |- (Lim z -> ((y e. z /\ z e. A) -> suc y e. U.A))
25	24	exp3a 375	. . . . . . . . 9 |- (Lim z -> (y e. z -> (z e. A -> suc y e. U.A)))
26	25	com3r 35	. . . . . . . 8 |- (z e. A -> (Lim z -> (y e. z -> suc y e. U.A)))
27	20, 26	sylcom 51	. . . . . . 7 |- (A.x e. A Lim x -> (z e. A -> (y e. z -> suc y e. U.A)))
28	27	r19.23adv 1738	. . . . . 6 |- (A.x e. A Lim x -> (E.z e. A y e. z -> suc y e. U.A))
29		eluni2 2497	. . . . . 6 |- (y e. U.A <-> E.z e. A y e. z)
30	28, 29	syl5ib 206	. . . . 5 |- (A.x e. A Lim x -> (y e. U.A -> suc y e. U.A))
31	30	r19.21aiv 1705	. . . 4 |- (A.x e. A Lim x -> A.y e. U.A suc y e. U.A)
32	31	adantl 388	. . 3 |- ((A =/= (/) /\ A.x e. A Lim x) -> A.y e. U.A suc y e. U.A)
33	10, 19, 32	3jca 817	. 2 |- ((A =/= (/) /\ A.x e. A Lim x) -> (Ord U.A /\ (/) e. U.A /\ A.y e. U.A suc y e. U.A))
34		dflim4 3109	. 2 |- (Lim U.A <-> (Ord U.A /\ (/) e. U.A /\ A.y e. U.A suc y e. U.A))
35	33, 34	sylibr 200	1 |- ((A =/= (/) /\ A.x e. A Lim x) -> Lim U.A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   e. wcel 955  E.wex 977   =/= wne 1577  A.wral 1637  E.wrex 1638  Vcvv 1802   (_ wss 2037  (/)c0 2270  U.cuni 2493  Ord word 2937  Oncon0 2938  Lim wlim 2939  suc csuc 2940

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944

Copyright terms: Public domain