Theorem limensuc 4513

Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor.

Assertion

Ref	Expression
limensuc	|- ((A e. B /\ Lim A) -> A ~~ suc A)

Proof of Theorem limensuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1537	. . . 4 |- (A = if(Lim A, A, On) -> (A e. B <-> if(Lim A, A, On) e. B))
2		id 59	. . . . 5 |- (A = if(Lim A, A, On) -> A = if(Lim A, A, On))
3		suceq 3040	. . . . 5 |- (A = if(Lim A, A, On) -> suc A = suc if(Lim A, A, On))
4	2, 3	breq12d 2636	. . . 4 |- (A = if(Lim A, A, On) -> (A ~~ suc A <-> if(Lim A, A, On) ~~ suc if(Lim A, A, On)))
5	1, 4	imbi12d 628	. . 3 |- (A = if(Lim A, A, On) -> ((A e. B -> A ~~ suc A) <-> (if(Lim A, A, On) e. B -> if(Lim A, A, On) ~~ suc if(Lim A, A, On))))
6		limeq 2966	. . . . 5 |- (A = if(Lim A, A, On) -> (Lim A <-> Lim if(Lim A, A, On)))
7		limeq 2966	. . . . 5 |- (On = if(Lim A, A, On) -> (Lim On <-> Lim if(Lim A, A, On)))
8		limon 3100	. . . . 5 |- Lim On
9	6, 7, 8	elimhyp 2394	. . . 4 |- Lim if(Lim A, A, On)
10	9	limensuci 4512	. . 3 |- (if(Lim A, A, On) e. B -> if(Lim A, A, On) ~~ suc if(Lim A, A, On))
11	5, 10	dedth 2387	. 2 |- (Lim A -> (A e. B -> A ~~ suc A))
12	11	impcom 351	1 |- ((A e. B /\ Lim A) -> A ~~ suc A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  ifcif 2365   class class class wbr 2624  Oncon0 2954  Lim wlim 2955  suc csuc 2956   ~~ cen 4370

This theorem is referenced by:  infensuc 4648

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-1o 4139  df-er 4267  df-en 4374  df-dom 4375

Copyright terms: Public domain