Theorem limenpsi 4485

Description: A limit ordinal is equinumerous to a proper subset of itself.

Hypothesis

Ref	Expression
limenpsi.1	|- Lim A

Assertion

Ref	Expression
limenpsi	|- (A e. B -> A ~~ (A \ {(/)}))

Proof of Theorem limenpsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbth 4437	. 2 |- ((A ~<_ (A \ {(/)}) /\ (A \ {(/)}) ~<_ A) -> A ~~ (A \ {(/)}))
2		limenpsi.1	. . . . . . 7 |- Lim A
3		limsuc 3110	. . . . . . 7 |- (Lim A -> (x e. A <-> suc x e. A))
4	2, 3	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (x e. A <-> suc x e. A)
5	4	biimp 151	. . . . 5 |- (x e. A -> suc x e. A)
6		nsuceq0 3043	. . . . 5 |- suc x =/= (/)
7	5, 6	jctir 293	. . . 4 |- (x e. A -> (suc x e. A /\ suc x =/= (/)))
8		eldifsn 2453	. . . 4 |- (suc x e. (A \ {(/)}) <-> (suc x e. A /\ suc x =/= (/)))
9	7, 8	sylibr 200	. . 3 |- (x e. A -> suc x e. (A \ {(/)}))
10		suc11 3083	. . . 4 |- ((x e. On /\ y e. On) -> (suc x = suc y <-> x = y))
11		limord 3018	. . . . . 6 |- (Lim A -> Ord A)
12	2, 11	ax-mp 7	. . . . 5 |- Ord A
13		ordelon 2961	. . . . 5 |- ((Ord A /\ x e. A) -> x e. On)
14	12, 13	mpan 693	. . . 4 |- (x e. A -> x e. On)
15		ordelon 2961	. . . . 5 |- ((Ord A /\ y e. A) -> y e. On)
16	12, 15	mpan 693	. . . 4 |- (y e. A -> y e. On)
17	10, 14, 16	syl2an 454	. . 3 |- ((x e. A /\ y e. A) -> (suc x = suc y <-> x = y))
18	9, 17	dom2 4386	. 2 |- (A e. B -> A ~<_ (A \ {(/)}))
19		difss 2157	. . 3 |- (A \ {(/)}) (_ A
20		ssdom2g 4390	. . 3 |- (A e. B -> ((A \ {(/)}) (_ A -> (A \ {(/)}) ~<_ A))
21	19, 20	mpi 44	. 2 |- (A e. B -> (A \ {(/)}) ~<_ A)
22	1, 18, 21	sylanc 471	1 |- (A e. B -> A ~~ (A \ {(/)}))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577   \ cdif 2034   (_ wss 2037  (/)c0 2270  {csn 2399   class class class wbr 2609  Ord word 2937  Oncon0 2938  Lim wlim 2939  suc csuc 2940   ~~ cen 4348   ~<_ cdom 4349

This theorem is referenced by:  limensuci 4486  omenps 4608

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-en 4351  df-dom 4352

Copyright terms: Public domain