Theorem leopaddt 9977

Description: The sum of two positive operators is positive. Exercise 1(i) of [Retherford] p. 49.

Assertion

Ref	Expression
leopaddt	|- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ (0hop <_op T /\ 0hop <_op U)) -> 0hop <_op (T +op U))

Proof of Theorem leopaddt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addge0t 5623	. . . . . . . . 9 |- (((((T` x) .ih x) e. RR /\ ((U` x) .ih x) e. RR) /\ (0 <_ ((T` x) .ih x) /\ 0 <_ ((U` x) .ih x))) -> 0 <_ (((T` x) .ih x) + ((U` x) .ih x)))
2	1	ex 373	. . . . . . . 8 |- ((((T` x) .ih x) e. RR /\ ((U` x) .ih x) e. RR) -> ((0 <_ ((T` x) .ih x) /\ 0 <_ ((U` x) .ih x)) -> 0 <_ (((T` x) .ih x) + ((U` x) .ih x))))
3		hmopret 9763	. . . . . . . 8 |- ((T e. HrmOp /\ x e. H~) -> ((T` x) .ih x) e. RR)
4		hmopret 9763	. . . . . . . 8 |- ((U e. HrmOp /\ x e. H~) -> ((U` x) .ih x) e. RR)
5	2, 3, 4	syl2an 454	. . . . . . 7 |- (((T e. HrmOp /\ x e. H~) /\ (U e. HrmOp /\ x e. H~)) -> ((0 <_ ((T` x) .ih x) /\ 0 <_ ((U` x) .ih x)) -> 0 <_ (((T` x) .ih x) + ((U` x) .ih x))))
6	5	anandirs 512	. . . . . 6 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ x e. H~) -> ((0 <_ ((T` x) .ih x) /\ 0 <_ ((U` x) .ih x)) -> 0 <_ (((T` x) .ih x) + ((U` x) .ih x))))
7		hosvaltOLD 9434	. . . . . . . . . 10 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ x e. H~) -> ((T +op U)` x) = ((T` x) +h (U` x)))
8	7	opreq1d 3960	. . . . . . . . 9 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ x e. H~) -> (((T +op U)` x) .ih x) = (((T` x) +h (U` x)) .ih x))
9		ax-his2 8871	. . . . . . . . . 10 |- (((T` x) e. H~ /\ (U` x) e. H~ /\ x e. H~) -> (((T` x) +h (U` x)) .ih x) = (((T` x) .ih x) + ((U` x) .ih x)))
10		ffvelrn 3799	. . . . . . . . . . 11 |- ((T:H~-->H~ /\ x e. H~) -> (T` x) e. H~)
11	10	adantlr 393	. . . . . . . . . 10 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ x e. H~) -> (T` x) e. H~)
12		ffvelrn 3799	. . . . . . . . . . 11 |- ((U:H~-->H~ /\ x e. H~) -> (U` x) e. H~)
13	12	adantll 392	. . . . . . . . . 10 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ x e. H~) -> (U` x) e. H~)
14		pm3.27 323	. . . . . . . . . 10 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ x e. H~) -> x e. H~)
15	9, 11, 13, 14	syl3anc 856	. . . . . . . . 9 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ x e. H~) -> (((T` x) +h (U` x)) .ih x) = (((T` x) .ih x) + ((U` x) .ih x)))
16	8, 15	eqtrd 1499	. . . . . . . 8 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ x e. H~) -> (((T +op U)` x) .ih x) = (((T` x) .ih x) + ((U` x) .ih x)))
17		hmopft 9718	. . . . . . . . 9 |- (T e. HrmOp -> T:H~-->H~)
18		hmopft 9718	. . . . . . . . 9 |- (U e. HrmOp -> U:H~-->H~)
19	17, 18	anim12i 333	. . . . . . . 8 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> (T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~))
20	16, 19	sylan 448	. . . . . . 7 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ x e. H~) -> (((T +op U)` x) .ih x) = (((T` x) .ih x) + ((U` x) .ih x)))
21	20	breq2d 2620	. . . . . 6 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ x e. H~) -> (0 <_ (((T +op U)` x) .ih x) <-> 0 <_ (((T` x) .ih x) + ((U` x) .ih x))))
22	6, 21	sylibrd 204	. . . . 5 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ x e. H~) -> ((0 <_ ((T` x) .ih x) /\ 0 <_ ((U` x) .ih x)) -> 0 <_ (((T +op U)` x) .ih x)))
23	22	r19.20dva 1701	. . . 4 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> (A.x e. H~ (0 <_ ((T` x) .ih x) /\ 0 <_ ((U` x) .ih x)) -> A.x e. H~ 0 <_ (((T +op U)` x) .ih x)))
24		r19.26 1742	. . . 4 |- (A.x e. H~ (0 <_ ((T` x) .ih x) /\ 0 <_ ((U` x) .ih x)) <-> (A.x e. H~ 0 <_ ((T` x) .ih x) /\ A.x e. H~ 0 <_ ((U` x) .ih x)))
25	23, 24	syl5ibr 207	. . 3 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> ((A.x e. H~ 0 <_ ((T` x) .ih x) /\ A.x e. H~ 0 <_ ((U` x) .ih x)) -> A.x e. H~ 0 <_ (((T +op U)` x) .ih x)))
26		leoppost 9971	. . . 4 |- (T e. HrmOp -> (0hop <_op T <-> A.x e. H~ 0 <_ ((T` x) .ih x)))
27		leoppost 9971	. . . 4 |- (U e. HrmOp -> (0hop <_op U <-> A.x e. H~ 0 <_ ((U` x) .ih x)))
28	26, 27	bi2anan9 630	. . 3 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> ((0hop <_op T /\ 0hop <_op U) <-> (A.x e. H~ 0 <_ ((T` x) .ih x) /\ A.x e. H~ 0 <_ ((U` x) .ih x))))
29		hmopst 9860	. . . 4 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> (T +op U) e. HrmOp)
30		leoppost 9971	. . . 4 |- ((T +op U) e. HrmOp -> (0hop <_op (T +op U) <-> A.x e. H~ 0 <_ (((T +op U)` x) .ih x)))
31	29, 30	syl 10	. . 3 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> (0hop <_op (T +op U) <-> A.x e. H~ 0 <_ (((T +op U)` x) .ih x)))
32	25, 28, 31	3imtr4d 541	. 2 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> ((0hop <_op T /\ 0hop <_op U) -> 0hop <_op (T +op U)))
33	32	imp 350	1 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ (0hop <_op T /\ 0hop <_op U)) -> 0hop <_op (T +op U))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637   class class class wbr 2609  -->wf 3168  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  RRcr 5205  0cc0 5206   + caddc 5209   <_ cle 5267  H~chil 8727   +h cva 8728   .ih csp 8732   +op chos 8746  0_hopch0o 8751  HrmOpcho 8758   <_op cleo 8766

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvmulass 8798  ax-hvdistr1 8799  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873  ax-hcompl 8992

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-iin 2559  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-map 4308  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-r1 4615  df-rank 4616  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-q 6194  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-ioo 6298  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-clim 6913  df-sum 6918  df-top 7534  df-bases 7536  df-topgen 7537  df-cld 7605  df-ntr 7606  df-cls 7607  df-cn 7694  df-cnp 7695  df-haus 7721  df-met 7732  df-bl 7734  df-opn 7735  df-lm 7860  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-gdiv 7974  df-abl 8036  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-vs 8156  df-nm 8157  df-ims 8158  df-ip 8284  df-ph 8403  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-hlim 8780  df-hcau 8781  df-sh 8997  df-ch 9013  df-oc 9045  df-ch0 9046  df-pj 9152  df-hosum 9423  df-homul 9424  df-hodif 9425  df-h0op 9591  df-hmop 9687  df-leop 9695

Copyright terms: Public domain