Theorem lemul12ait 5806

Description: Comparison of product of two nonnegative numbers.

Assertion

Ref	Expression
lemul12ait	|- ((((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ (D e. RR /\ 0 <_ D))) -> ((A <_ B /\ C <_ D) -> (A x. C) <_ (B x. D)))

Proof of Theorem lemul12ait

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lemul2it 5803	. . . . . . . . 9 |- (((C e. RR /\ D e. RR /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ C <_ D) -> (A x. C) <_ (A x. D))
2	1	ex 373	. . . . . . . 8 |- ((C e. RR /\ D e. RR /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (C <_ D -> (A x. C) <_ (A x. D)))
3	2	3comr 840	. . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ C e. RR /\ D e. RR) -> (C <_ D -> (A x. C) <_ (A x. D)))
4	3	3expb 833	. . . . . 6 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> (C <_ D -> (A x. C) <_ (A x. D)))
5	4	adantrrr 403	. . . . 5 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (C e. RR /\ (D e. RR /\ 0 <_ D))) -> (C <_ D -> (A x. C) <_ (A x. D)))
6	5	adantlr 393	. . . 4 |- ((((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ (D e. RR /\ 0 <_ D))) -> (C <_ D -> (A x. C) <_ (A x. D)))
7		lemul1it 5801	. . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ (D e. RR /\ 0 <_ D)) /\ A <_ B) -> (A x. D) <_ (B x. D))
8	7	ex 373	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ (D e. RR /\ 0 <_ D)) -> (A <_ B -> (A x. D) <_ (B x. D)))
9	8	3expa 832	. . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (D e. RR /\ 0 <_ D)) -> (A <_ B -> (A x. D) <_ (B x. D)))
10	9	adantllr 397	. . . . 5 |- ((((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR) /\ (D e. RR /\ 0 <_ D)) -> (A <_ B -> (A x. D) <_ (B x. D)))
11	10	adantrl 394	. . . 4 |- ((((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ (D e. RR /\ 0 <_ D))) -> (A <_ B -> (A x. D) <_ (B x. D)))
12	6, 11	anim12d 557	. . 3 |- ((((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ (D e. RR /\ 0 <_ D))) -> ((C <_ D /\ A <_ B) -> ((A x. C) <_ (A x. D) /\ (A x. D) <_ (B x. D))))
13	12	ancomsd 437	. 2 |- ((((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ (D e. RR /\ 0 <_ D))) -> ((A <_ B /\ C <_ D) -> ((A x. C) <_ (A x. D) /\ (A x. D) <_ (B x. D))))
14		letrt 5506	. . 3 |- (((A x. C) e. RR /\ (A x. D) e. RR /\ (B x. D) e. RR) -> (((A x. C) <_ (A x. D) /\ (A x. D) <_ (B x. D)) -> (A x. C) <_ (B x. D)))
15		axmulrcl 5254	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ C e. RR) -> (A x. C) e. RR)
16	15	adantlr 393	. . . 4 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ C e. RR) -> (A x. C) e. RR)
17	16	ad2ant2r 409	. . 3 |- ((((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ (D e. RR /\ 0 <_ D))) -> (A x. C) e. RR)
18		axmulrcl 5254	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ D e. RR) -> (A x. D) e. RR)
19	18	ad2ant2r 409	. . . 4 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (D e. RR /\ 0 <_ D)) -> (A x. D) e. RR)
20	19	ad2ant2rl 411	. . 3 |- ((((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ (D e. RR /\ 0 <_ D))) -> (A x. D) e. RR)
21		axmulrcl 5254	. . . . 5 |- ((B e. RR /\ D e. RR) -> (B x. D) e. RR)
22	21	adantrr 395	. . . 4 |- ((B e. RR /\ (D e. RR /\ 0 <_ D)) -> (B x. D) e. RR)
23	22	ad2ant2l 408	. . 3 |- ((((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ (D e. RR /\ 0 <_ D))) -> (B x. D) e. RR)
24	14, 17, 20, 23	syl3anc 857	. 2 |- ((((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ (D e. RR /\ 0 <_ D))) -> (((A x. C) <_ (A x. D) /\ (A x. D) <_ (B x. D)) -> (A x. C) <_ (B x. D)))
25	13, 24	syld 27	1 |- ((((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ (D e. RR /\ 0 <_ D))) -> ((A <_ B /\ C <_ D) -> (A x. C) <_ (B x. D)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   e. wcel 956   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954  RRcr 5213  0cc0 5214   x. cmul 5219   <_ cle 5275

This theorem is referenced by:  lemul12it 5808  minveclem25 8513

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471

Copyright terms: Public domain