HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem lediv23t 5849
Description: Swap denominator with other side of 'less than or equal to'.
Assertion
Ref Expression
lediv23t |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ (0 < B /\ 0 < C)) -> ((A / B) <_ C <-> (A / C) <_ B))
Proof of Theorem lediv23t
StepHypRef Expression
1 gt0ne0t 5600 . . . . . . . 8 |- ((B e. RR /\ 0 < B) -> B =/= 0)
21adantll 392 . . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ 0 < B) -> B =/= 0)
3 redivclt 5764 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ B =/= 0) -> (A / B) e. RR)
433expa 832 . . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ B =/= 0) -> (A / B) e. RR)
52, 4syldan 467 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ 0 < B) -> (A / B) e. RR)
653adantl3 804 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < B) -> (A / B) e. RR)
7 3simp3 789 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> C e. RR)
87adantr 389 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < B) -> C e. RR)
9 3simp2 788 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> B e. RR)
109adantr 389 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < B) -> B e. RR)
116, 8, 103jca 818 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < B) -> ((A / B) e. RR /\ C e. RR /\ B e. RR))
12 lemul1t 5796 . . . 4 |- ((((A / B) e. RR /\ C e. RR /\ B e. RR) /\ 0 < B) -> ((A / B) <_ C <-> ((A / B) x. B) <_ (C x. B)))
1311, 12sylancom 475 . . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < B) -> ((A / B) <_ C <-> ((A / B) x. B) <_ (C x. B)))
1413adantrr 395 . 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ (0 < B /\ 0 < C)) -> ((A / B) <_ C <-> ((A / B) x. B) <_ (C x. B)))
15 divcan1t 5697 . . . . . . . . 9 |- ((B e. CC /\ A e. CC /\ B =/= 0) -> ((A / B) x. B) = A)
16153com12 836 . . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> ((A / B) x. B) = A)
17163expa 832 . . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ B e. CC) /\ B =/= 0) -> ((A / B) x. B) = A)
18 recnt 5293 . . . . . . . 8 |- (A e. RR -> A e. CC)
19 recnt 5293 . . . . . . . 8 |- (B e. RR -> B e. CC)
2018, 19anim12i 333 . . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A e. CC /\ B e. CC))
2117, 20sylan 448 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ B =/= 0) -> ((A / B) x. B) = A)
222, 21syldan 467 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ 0 < B) -> ((A / B) x. B) = A)
23223adantl3 804 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < B) -> ((A / B) x. B) = A)
2423adantrr 395 . . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ (0 < B /\ 0 < C)) -> ((A / B) x. B) = A)
2524breq1d 2624 . 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ (0 < B /\ 0 < C)) -> (((A / B) x. B) <_ (C x. B) <-> A <_ (C x. B)))
26 lediv1t 5814 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ (C x. B) e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> (A <_ (C x. B) <-> (A / C) <_ ((C x. B) / C)))
27 3simp1 787 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> A e. RR)
28 axmulrcl 5254 . . . . . . . 8 |- ((C e. RR /\ B e. RR) -> (C x. B) e. RR)
2928ancoms 436 . . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ C e. RR) -> (C x. B) e. RR)
30293adant1 796 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (C x. B) e. RR)
3127, 30, 73jca 818 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A e. RR /\ (C x. B) e. RR /\ C e. RR))
3226, 31sylan 448 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> (A <_ (C x. B) <-> (A / C) <_ ((C x. B) / C)))
33 gt0ne0t 5600 . . . . . . . 8 |- ((C e. RR /\ 0 < C) -> C =/= 0)
3433adantll 392 . . . . . . 7 |- (((B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> C =/= 0)
35 divcan3t 5726 . . . . . . . . . . 11 |- ((C e. CC /\ B e. CC /\ C =/= 0) -> ((C x. B) / C) = B)
3635, 19syl3an2 859 . . . . . . . . . 10 |- ((C e. CC /\ B e. RR /\ C =/= 0) -> ((C x. B) / C) = B)
37 recnt 5293 . . . . . . . . . 10 |- (C e. RR -> C e. CC)
3836, 37syl3an1 858 . . . . . . . . 9 |- ((C e. RR /\ B e. RR /\ C =/= 0) -> ((C x. B) / C) = B)
39383com12 836 . . . . . . . 8 |- ((B e. RR /\ C e. RR /\ C =/= 0) -> ((C x. B) / C) = B)
40393expa 832 . . . . . . 7 |- (((B e. RR /\ C e. RR) /\ C =/= 0) -> ((C x. B) / C) = B)
4134, 40syldan 467 . . . . . 6 |- (((B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> ((C x. B) / C) = B)
42413adantl1 802 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> ((C x. B) / C) = B)
4342breq2d 2625 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> ((A / C) <_ ((C x. B) / C) <-> (A / C) <_ B))
4432, 43bitrd 527 . . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> (A <_ (C x. B) <-> (A / C) <_ B))
4544adantrl 394 . 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ (0 < B /\ 0 < C)) -> (A <_ (C x. B) <-> (A / C) <_ B))
4614, 25, 453bitrd 543 1 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ (0 < B /\ 0 < C)) -> ((A / B) <_ C <-> (A / C) <_ B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214   x. cmul 5219   / cdiv 5274   <_ cle 5275   < clt 5466
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680
Copyright terms: Public domain