HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem le2addt 5618
Description: Adding both sides of two 'less than or equal to' relations.
Assertion
Ref Expression
le2addt |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> ((A <_ C /\ B <_ D) -> (A + B) <_ (C + D)))
Proof of Theorem le2addt
StepHypRef Expression
1 breq1 2612 . . . 4 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (A <_ C <-> if(A e. RR, A, 0) <_ C))
21anbi1d 615 . . 3 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> ((A <_ C /\ B <_ D) <-> (if(A e. RR, A, 0) <_ C /\ B <_ D)))
3 opreq1 3953 . . . 4 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (A + B) = (if(A e. RR, A, 0) + B))
43breq1d 2619 . . 3 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> ((A + B) <_ (C + D) <-> (if(A e. RR, A, 0) + B) <_ (C + D)))
52, 4imbi12d 624 . 2 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (((A <_ C /\ B <_ D) -> (A + B) <_ (C + D)) <-> ((if(A e. RR, A, 0) <_ C /\ B <_ D) -> (if(A e. RR, A, 0) + B) <_ (C + D))))
6 breq1 2612 . . . 4 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (B <_ D <-> if(B e. RR, B, 0) <_ D))
76anbi2d 614 . . 3 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> ((if(A e. RR, A, 0) <_ C /\ B <_ D) <-> (if(A e. RR, A, 0) <_ C /\ if(B e. RR, B, 0) <_ D)))
8 opreq2 3954 . . . 4 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (if(A e. RR, A, 0) + B) = (if(A e. RR, A, 0) + if(B e. RR, B, 0)))
98breq1d 2619 . . 3 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> ((if(A e. RR, A, 0) + B) <_ (C + D) <-> (if(A e. RR, A, 0) + if(B e. RR, B, 0)) <_ (C + D)))
107, 9imbi12d 624 . 2 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (((if(A e. RR, A, 0) <_ C /\ B <_ D) -> (if(A e. RR, A, 0) + B) <_ (C + D)) <-> ((if(A e. RR, A, 0) <_ C /\ if(B e. RR, B, 0) <_ D) -> (if(A e. RR, A, 0) + if(B e. RR, B, 0)) <_ (C + D))))
11 breq2 2613 . . . 4 |- (C = if(C e. RR, C, 0) -> (if(A e. RR, A, 0) <_ C <-> if(A e. RR, A, 0) <_ if(C e. RR, C, 0)))
1211anbi1d 615 . . 3 |- (C = if(C e. RR, C, 0) -> ((if(A e. RR, A, 0) <_ C /\ if(B e. RR, B, 0) <_ D) <-> (if(A e. RR, A, 0) <_ if(C e. RR, C, 0) /\ if(B e. RR, B, 0) <_ D)))
13 opreq1 3953 . . . 4 |- (C = if(C e. RR, C, 0) -> (C + D) = (if(C e. RR, C, 0) + D))
1413breq2d 2620 . . 3 |- (C = if(C e. RR, C, 0) -> ((if(A e. RR, A, 0) + if(B e. RR, B, 0)) <_ (C + D) <-> (if(A e. RR, A, 0) + if(B e. RR, B, 0)) <_ (if(C e. RR, C, 0) + D)))
1512, 14imbi12d 624 . 2 |- (C = if(C e. RR, C, 0) -> (((if(A e. RR, A, 0) <_ C /\ if(B e. RR, B, 0) <_ D) -> (if(A e. RR, A, 0) + if(B e. RR, B, 0)) <_ (C + D)) <-> ((if(A e. RR, A, 0) <_ if(C e. RR, C, 0) /\ if(B e. RR, B, 0) <_ D) -> (if(A e. RR, A, 0) + if(B e. RR, B, 0)) <_ (if(C e. RR, C, 0) + D))))
16 breq2 2613 . . . 4 |- (D = if(D e. RR, D, 0) -> (if(B e. RR, B, 0) <_ D <-> if(B e. RR, B, 0) <_ if(D e. RR, D, 0)))
1716anbi2d 614 . . 3 |- (D = if(D e. RR, D, 0) -> ((if(A e. RR, A, 0) <_ if(C e. RR, C, 0) /\ if(B e. RR, B, 0) <_ D) <-> (if(A e. RR, A, 0) <_ if(C e. RR, C, 0) /\ if(B e. RR, B, 0) <_ if(D e. RR, D, 0))))
18 opreq2 3954 . . . 4 |- (D = if(D e. RR, D, 0) -> (if(C e. RR, C, 0) + D) = (if(C e. RR, C, 0) + if(D e. RR, D, 0)))
1918breq2d 2620 . . 3 |- (D = if(D e. RR, D, 0) -> ((if(A e. RR, A, 0) + if(B e. RR, B, 0)) <_ (if(C e. RR, C, 0) + D) <-> (if(A e. RR, A, 0) + if(B e. RR, B, 0)) <_ (if(C e. RR, C, 0) + if(D e. RR, D, 0))))
2017, 19imbi12d 624 . 2 |- (D = if(D e. RR, D, 0) -> (((if(A e. RR, A, 0) <_ if(C e. RR, C, 0) /\ if(B e. RR, B, 0) <_ D) -> (if(A e. RR, A, 0) + if(B e. RR, B, 0)) <_ (if(C e. RR, C, 0) + D)) <-> ((if(A e. RR, A, 0) <_ if(C e. RR, C, 0) /\ if(B e. RR, B, 0) <_ if(D e. RR, D, 0)) -> (if(A e. RR, A, 0) + if(B e. RR, B, 0)) <_ (if(C e. RR, C, 0) + if(D e. RR, D, 0)))))
21 0re 5412 . . . 4 |- 0 e. RR
2221elimel 2384 . . 3 |- if(A e. RR, A, 0) e. RR
2321elimel 2384 . . 3 |- if(B e. RR, B, 0) e. RR
2421elimel 2384 . . 3 |- if(C e. RR, C, 0) e. RR
2521elimel 2384 . . 3 |- if(D e. RR, D, 0) e. RR
2622, 23, 24, 25le2add 5571 . 2 |- ((if(A e. RR, A, 0) <_ if(C e. RR, C, 0) /\ if(B e. RR, B, 0) <_ if(D e. RR, D, 0)) -> (if(A e. RR, A, 0) + if(B e. RR, B, 0)) <_ (if(C e. RR, C, 0) + if(D e. RR, D, 0)))
275, 10, 15, 20, 26dedth4h 2379 1 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ D e. RR)) -> ((A <_ C /\ B <_ D) -> (A + B) <_ (C + D)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  ifcif 2351   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  RRcr 5205  0cc0 5206   + caddc 5209   <_ cle 5267
This theorem is referenced by:  metxplem3 7768  ubthlem11 8470  nmoptri 9941  cdj3 10273
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463
Copyright terms: Public domain