Theorem lble 6047

Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is less than or equal to all members of the set.

Assertion

Ref	Expression
lble	|- ((S (_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y /\ A e. S) -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A)

Distinct variable groups:   x,y,S   y,A

Proof of Theorem lble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbra1 1687	. . . . . . . . 9 |- (A.y e. S x <_ y -> A.yA.y e. S x <_ y)
2		ax-17 971	. . . . . . . . 9 |- (w e. S -> A.y w e. S)
3	1, 2	hbrab 1773	. . . . . . . 8 |- (w e. {x e. S | A.y e. S x <_ y} -> A.y w e. {x e. S | A.y e. S x <_ y})
4	3	hbuni 2509	. . . . . . 7 |- (w e. U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> A.y w e. U.{x e. S | A.y e. S x <_ y})
5		ax-17 971	. . . . . . 7 |- (w e. <_ -> A.y w e. <_ )
6		ax-17 971	. . . . . . 7 |- (w e. A -> A.y w e. A)
7	4, 5, 6	hbbr 2658	. . . . . 6 |- (U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A -> A.yU.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A)
8		breq2 2623	. . . . . 6 |- (y = A -> (U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ y <-> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A))
9	7, 8	rcla4 1871	. . . . 5 |- (A e. S -> (A.y e. S U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ y -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A))
10	9	imp 350	. . . 4 |- ((A e. S /\ A.y e. S U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ y) -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A)
11		lbreu 6045	. . . . . 6 |- ((S (_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> E!x e. S A.y e. S x <_ y)
12		breq1 2622	. . . . . . . 8 |- (x = w -> (x <_ y <-> w <_ y))
13	12	ralbidv 1663	. . . . . . 7 |- (x = w -> (A.y e. S x <_ y <-> A.y e. S w <_ y))
14	13	cbvreuv 1802	. . . . . 6 |- (E!x e. S A.y e. S x <_ y <-> E!w e. S A.y e. S w <_ y)
15	11, 14	sylib 198	. . . . 5 |- ((S (_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> E!w e. S A.y e. S w <_ y)
16		breq1 2622	. . . . . . 7 |- (w = x -> (w <_ y <-> x <_ y))
17	16	ralbidv 1663	. . . . . 6 |- (w = x -> (A.y e. S w <_ y <-> A.y e. S x <_ y))
18	4	hbeleq 1567	. . . . . . 7 |- (w = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> A.y w = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y})
19		breq1 2622	. . . . . . 7 |- (w = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> (w <_ y <-> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ y))
20	18, 19	ralbid 1661	. . . . . 6 |- (w = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> (A.y e. S w <_ y <-> A.y e. S U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ y))
21	17, 20	reuuni3 2886	. . . . 5 |- (E!w e. S A.y e. S w <_ y -> A.y e. S U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ y)
22	15, 21	syl 10	. . . 4 |- ((S (_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> A.y e. S U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ y)
23	10, 22	sylan2 451	. . 3 |- ((A e. S /\ (S (_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y)) -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A)
24	23	3impb 829	. 2 |- ((A e. S /\ S (_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A)
25	24	3coml 840	1 |- ((S (_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y /\ A e. S) -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646  E!wreu 1647  {crab 1648   (_ wss 2047  U.cuni 2503   class class class wbr 2619  RRcr 5233   <_ cle 5295

This theorem is referenced by:  lbinfm 6048  lbinfmle 6050

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-ltp 5090  df-enr 5166  df-nr 5167  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-c 5240  df-r 5244  df-lt 5247  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491

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