Theorem kmlem10 4784

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4.

Hypothesis

Ref	Expression
kmlem9.1	|- A = {u | E.t e. x u = (t \ U.(x \ {t}))}

Assertion

Ref	Expression
kmlem10	|- (A.h(A.z e. h A.w e. h (z =/= w -> (z i^i w) = (/)) -> E.yA.z e. h ph) -> E.yA.z e. A ph)

Distinct variable groups:   x,y,z,w,u,t,h   y,A,z,w,h   ph,h

Proof of Theorem kmlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kmlem9.1	. . 3 |- A = {u | E.t e. x u = (t \ U.(x \ {t}))}
2	1	kmlem9 4783	. 2 |- A.z e. A A.w e. A (z =/= w -> (z i^i w) = (/))
3		visset 1816	. . . . 5 |- x e. V
4	3	abrexex 3866	. . . 4 |- {u | E.t e. x u = (t \ U.(x \ {t}))} e. V
5	1, 4	eqeltr 1547	. . 3 |- A e. V
6		raleq1 1789	. . . . 5 |- (h = A -> (A.w e. h (z =/= w -> (z i^i w) = (/)) <-> A.w e. A (z =/= w -> (z i^i w) = (/))))
7	6	raleqd 1794	. . . 4 |- (h = A -> (A.z e. h A.w e. h (z =/= w -> (z i^i w) = (/)) <-> A.z e. A A.w e. A (z =/= w -> (z i^i w) = (/))))
8		raleq1 1789	. . . . 5 |- (h = A -> (A.z e. h ph <-> A.z e. A ph))
9	8	exbidv 1281	. . . 4 |- (h = A -> (E.yA.z e. h ph <-> E.yA.z e. A ph))
10	7, 9	imbi12d 628	. . 3 |- (h = A -> ((A.z e. h A.w e. h (z =/= w -> (z i^i w) = (/)) -> E.yA.z e. h ph) <-> (A.z e. A A.w e. A (z =/= w -> (z i^i w) = (/)) -> E.yA.z e. A ph)))
11	5, 10	cla4v 1871	. 2 |- (A.h(A.z e. h A.w e. h (z =/= w -> (z i^i w) = (/)) -> E.yA.z e. h ph) -> (A.z e. A A.w e. A (z =/= w -> (z i^i w) = (/)) -> E.yA.z e. A ph))
12	2, 11	mpi 44	1 |- (A.h(A.z e. h A.w e. h (z =/= w -> (z i^i w) = (/)) -> E.yA.z e. h ph) -> E.yA.z e. A ph)

Syntax hints:   -> wi 3  A.wal 956   = wceq 958  E.wex 982  {cab 1466   =/= wne 1588  A.wral 1648  E.wrex 1649  Vcvv 1814   \ cdif 2047   i^i cin 2049  (/)c0 2283  {csn 2413  U.cuni 2507

This theorem is referenced by:  kmlem13 4787

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204

Copyright terms: Public domain