Theorem kbvalt 9792

Description: The outer product of two vectors, expressed as | A>. <.B | in Dirac notation. See df-kb 9694.

Assertion

Ref	Expression
kbvalt	|- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A ketbra B) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih B) .h A))})

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem kbvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 8790	. . 3 |- H~ e. V
2	1	opabex2 3596	. 2 |- {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih B) .h A))} e. V
3		opreq2 3954	. . . . 5 |- (z = A -> ((x .ih w) .h z) = ((x .ih w) .h A))
4	3	eqeq2d 1478	. . . 4 |- (z = A -> (y = ((x .ih w) .h z) <-> y = ((x .ih w) .h A)))
5	4	anbi2d 614	. . 3 |- (z = A -> ((x e. H~ /\ y = ((x .ih w) .h z)) <-> (x e. H~ /\ y = ((x .ih w) .h A))))
6	5	opabbidv 2660	. 2 |- (z = A -> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih w) .h z))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih w) .h A))})
7		opreq2 3954	. . . . . 6 |- (w = B -> (x .ih w) = (x .ih B))
8	7	opreq1d 3960	. . . . 5 |- (w = B -> ((x .ih w) .h A) = ((x .ih B) .h A))
9	8	eqeq2d 1478	. . . 4 |- (w = B -> (y = ((x .ih w) .h A) <-> y = ((x .ih B) .h A)))
10	9	anbi2d 614	. . 3 |- (w = B -> ((x e. H~ /\ y = ((x .ih w) .h A)) <-> (x e. H~ /\ y = ((x .ih B) .h A))))
11	10	opabbidv 2660	. 2 |- (w = B -> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih w) .h A))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih B) .h A))})
12		df-kb 9694	. 2 |- ketbra = {<.<.z, w>., t>. | ((z e. H~ /\ w e. H~) /\ t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih w) .h z))})}
13	2, 6, 11, 12	oprabval2 4013	1 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A ketbra B) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih B) .h A))})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  {copab 2656  (class class class)co 3948  H~chil 8727   .h csm 8729   .ih csp 8732   ketbra ck 8765

This theorem is referenced by:  kbopt 9793  kbvalvalt 9794  kbmult 9795  kbass2t 9962  kbass5t 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-hilex 8790

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-kb 9694

Copyright terms: Public domain