Theorem ixpssmap 4363

Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentation. Remark in [Enderton] p. 54.

Hypotheses

Ref	Expression
mapixp.1	|- A e. V
mapixp.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
ixpssmap	|- X_x e. A B (_ (U_x e. A B ^m A)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem ixpssmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpf 4356	. . 3 |- (f e. X_x e. A B -> f:A-->U_x e. A B)
2		mapixp.1	. . . . 5 |- A e. V
3		mapixp.2	. . . . 5 |- B e. V
4	2, 3	iunex 3863	. . . 4 |- U_x e. A B e. V
5	4, 2	elmap 4334	. . 3 |- (f e. (U_x e. A B ^m A) <-> f:A-->U_x e. A B)
6	1, 5	sylibr 200	. 2 |- (f e. X_x e. A B -> f e. (U_x e. A B ^m A))
7	6	ssriv 2069	1 |- X_x e. A B (_ (U_x e. A B ^m A)

Syntax hints:   e. wcel 958  Vcvv 1811   (_ wss 2047  U_ciun 2566  -->wf 3178  (class class class)co 3963   ^m cm 4322  X_cixp 4347

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-map 4324  df-ixp 4348

Copyright terms: Public domain