Theorem ivthlem9 7224

Description: Lemma for isupivth 7225.

Hypotheses

Ref	Expression
ivthlem4.1	|- A e. RR
ivthlem4.2	|- B e. RR
ivthlem4.3	|- U e. RR
ivthlem4.4	|- A < B
ivthlem4.5	|- ((F` A) < U /\ U < (F` B))
ivthlem4.6	|- C = sup(S, RR, < )
ivthlem4.7	|- S = {c e. (A[,]B) | (F` c) <_ U}
ivthlem4.8	|- F e. ((A[,]B)-cn->RR)
ivthlem9.9	|- T = {d e. (A[,]B) | (F` d) = U}
ivthlem9.10	|- (F` C) = U

Assertion

Ref	Expression
ivthlem9	|- C = sup(T, RR, < )

Distinct variable groups:   A,c,d   B,c,d   C,d   F,c,d   U,c,d

Proof of Theorem ivthlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivthlem4.1	. . . . 5 |- A e. RR
2		ivthlem4.2	. . . . 5 |- B e. RR
3		iccssret 6329	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A[,]B) (_ RR)
4	1, 2, 3	mp2an 695	. . . 4 |- (A[,]B) (_ RR
5		ivthlem4.3	. . . . 5 |- U e. RR
6		ivthlem4.4	. . . . 5 |- A < B
7		ivthlem4.5	. . . . 5 |- ((F` A) < U /\ U < (F` B))
8		ivthlem4.6	. . . . 5 |- C = sup(S, RR, < )
9		ivthlem4.7	. . . . 5 |- S = {c e. (A[,]B) | (F` c) <_ U}
10		ivthlem4.8	. . . . 5 |- F e. ((A[,]B)-cn->RR)
11	1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ivthlem5 7220	. . . 4 |- C e. (A[,]B)
12	4, 11	sselii 2056	. . 3 |- C e. RR
13		ivthlem9.9	. . . . . . 7 |- T = {d e. (A[,]B) | (F` d) = U}
14		ssrab2 2121	. . . . . . 7 |- {d e. (A[,]B) | (F` d) = U} (_ (A[,]B)
15	13, 14	eqsstr 2081	. . . . . 6 |- T (_ (A[,]B)
16		fveq2 3709	. . . . . . . . 9 |- (d = C -> (F` d) = (F` C))
17	16	eqeq1d 1475	. . . . . . . 8 |- (d = C -> ((F` d) = U <-> (F` C) = U))
18	17, 13	elrab2 1898	. . . . . . 7 |- (C e. T <-> (C e. (A[,]B) /\ (F` C) = U))
19		ivthlem9.10	. . . . . . 7 |- (F` C) = U
20	18, 11, 19	mpbir2an 728	. . . . . 6 |- C e. T
21		iccsupr 6331	. . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ T (_ (A[,]B) /\ C e. T) -> (T (_ RR /\ T =/= (/) /\ E.v e. RR A.w e. T w <_ v))
22	15, 20, 21	mp3an23 905	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (T (_ RR /\ T =/= (/) /\ E.v e. RR A.w e. T w <_ v))
23	1, 2, 22	mp2an 695	. . . 4 |- (T (_ RR /\ T =/= (/) /\ E.v e. RR A.w e. T w <_ v)
24	23	suprcli 6008	. . 3 |- sup(T, RR, < ) e. RR
25	12, 24	letri3 5547	. 2 |- (C = sup(T, RR, < ) <-> (C <_ sup(T, RR, < ) /\ sup(T, RR, < ) <_ C))
26	23	suprubi 6009	. . 3 |- (C e. T -> C <_ sup(T, RR, < ))
27	20, 26	ax-mp 7	. 2 |- C <_ sup(T, RR, < )
28		fveq2 3709	. . . . . . 7 |- (d = x -> (F` d) = (F` x))
29	28	eqeq1d 1475	. . . . . 6 |- (d = x -> ((F` d) = U <-> (F` x) = U))
30	29, 13	elrab2 1898	. . . . 5 |- (x e. T <-> (x e. (A[,]B) /\ (F` x) = U))
31		axresscn 5240	. . . . . . . . . 10 |- RR (_ CC
32	4, 31	sstri 2063	. . . . . . . . 9 |- (A[,]B) (_ CC
33		cncffvelrn 7203	. . . . . . . . 9 |- (((A[,]B) (_ CC /\ RR (_ CC /\ F e. ((A[,]B)-cn->RR)) -> (x e. (A[,]B) -> (F` x) e. RR))
34	32, 31, 10, 33	mp3an 913	. . . . . . . 8 |- (x e. (A[,]B) -> (F` x) e. RR)
35		eqlet 5544	. . . . . . . . 9 |- (((F` x) e. RR /\ (F` x) = U) -> (F` x) <_ U)
36	35	ex 373	. . . . . . . 8 |- ((F` x) e. RR -> ((F` x) = U -> (F` x) <_ U))
37	34, 36	syl 10	. . . . . . 7 |- (x e. (A[,]B) -> ((F` x) = U -> (F` x) <_ U))
38		fveq2 3709	. . . . . . . . . . 11 |- (c = x -> (F` c) = (F` x))
39	38	breq1d 2619	. . . . . . . . . 10 |- (c = x -> ((F` c) <_ U <-> (F` x) <_ U))
40	39, 9	elrab2 1898	. . . . . . . . 9 |- (x e. S <-> (x e. (A[,]B) /\ (F` x) <_ U))
41	1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ivthlem4 7219	. . . . . . . . . . . 12 |- ((S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.v e. RR A.w e. S w <_ v) /\ A e. S)
42	41	pm3.26i 320	. . . . . . . . . . 11 |- (S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.v e. RR A.w e. S w <_ v)
43	42	suprubi 6009	. . . . . . . . . 10 |- (x e. S -> x <_ sup(S, RR, < ))
44	43, 8	syl6breqr 2645	. . . . . . . . 9 |- (x e. S -> x <_ C)
45	40, 44	sylbir 201	. . . . . . . 8 |- ((x e. (A[,]B) /\ (F` x) <_ U) -> x <_ C)
46	45	ex 373	. . . . . . 7 |- (x e. (A[,]B) -> ((F` x) <_ U -> x <_ C))
47	37, 46	syld 27	. . . . . 6 |- (x e. (A[,]B) -> ((F` x) = U -> x <_ C))
48	47	imp 350	. . . . 5 |- ((x e. (A[,]B) /\ (F` x) = U) -> x <_ C)
49	30, 48	sylbi 199	. . . 4 |- (x e. T -> x <_ C)
50	49	rgen 1690	. . 3 |- A.x e. T x <_ C
51	23	suprleubi 6012	. . 3 |- ((C e. RR /\ A.x e. T x <_ C) -> sup(T, RR, < ) <_ C)
52	12, 50, 51	mp2an 695	. 2 |- sup(T, RR, < ) <_ C
53	25, 27, 52	mpbir2an 728	1 |- C = sup(T, RR, < )

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  A.wral 1637  E.wrex 1638  {crab 1640   (_ wss 2037  (/)c0 2270   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  supcsup 4547  CCcc 5204  RRcr 5205   <_ cle 5267   < clt 5458  [,]cicc 6297  -cn->ccncf 7197

This theorem is referenced by:  isupivth 7225

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-icc 6301  df-cncf 7198

Copyright terms: Public domain