Theorem iunxun 2614

Description: Separate a union in the index of an indexed union.

Assertion

Ref	Expression
iunxun	|- U_x e. (A u. B)C = (U_x e. A C u. U_x e. B C)

Proof of Theorem iunxun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 1650	. . . 4 |- (E.x e. (A u. B)y e. C <-> E.x(x e. (A u. B) /\ y e. C))
2		elun 2173	. . . . . . 7 |- (x e. (A u. B) <-> (x e. A \/ x e. B))
3	2	anbi1i 481	. . . . . 6 |- ((x e. (A u. B) /\ y e. C) <-> ((x e. A \/ x e. B) /\ y e. C))
4		andir 605	. . . . . 6 |- (((x e. A \/ x e. B) /\ y e. C) <-> ((x e. A /\ y e. C) \/ (x e. B /\ y e. C)))
5	3, 4	bitr 173	. . . . 5 |- ((x e. (A u. B) /\ y e. C) <-> ((x e. A /\ y e. C) \/ (x e. B /\ y e. C)))
6	5	exbii 1051	. . . 4 |- (E.x(x e. (A u. B) /\ y e. C) <-> E.x((x e. A /\ y e. C) \/ (x e. B /\ y e. C)))
7		19.43 1088	. . . . 5 |- (E.x((x e. A /\ y e. C) \/ (x e. B /\ y e. C)) <-> (E.x(x e. A /\ y e. C) \/ E.x(x e. B /\ y e. C)))
8		eliun 2570	. . . . . . 7 |- (y e. U_x e. A C <-> E.x e. A y e. C)
9		df-rex 1650	. . . . . . 7 |- (E.x e. A y e. C <-> E.x(x e. A /\ y e. C))
10	8, 9	bitr 173	. . . . . 6 |- (y e. U_x e. A C <-> E.x(x e. A /\ y e. C))
11		eliun 2570	. . . . . . 7 |- (y e. U_x e. B C <-> E.x e. B y e. C)
12		df-rex 1650	. . . . . . 7 |- (E.x e. B y e. C <-> E.x(x e. B /\ y e. C))
13	11, 12	bitr 173	. . . . . 6 |- (y e. U_x e. B C <-> E.x(x e. B /\ y e. C))
14	10, 13	orbi12i 257	. . . . 5 |- ((y e. U_x e. A C \/ y e. U_x e. B C) <-> (E.x(x e. A /\ y e. C) \/ E.x(x e. B /\ y e. C)))
15	7, 14	bitr4 176	. . . 4 |- (E.x((x e. A /\ y e. C) \/ (x e. B /\ y e. C)) <-> (y e. U_x e. A C \/ y e. U_x e. B C))
16	1, 6, 15	3bitr 177	. . 3 |- (E.x e. (A u. B)y e. C <-> (y e. U_x e. A C \/ y e. U_x e. B C))
17		eliun 2570	. . 3 |- (y e. U_x e. (A u. B)C <-> E.x e. (A u. B)y e. C)
18		elun 2173	. . 3 |- (y e. (U_x e. A C u. U_x e. B C) <-> (y e. U_x e. A C \/ y e. U_x e. B C))
19	16, 17, 18	3bitr4 183	. 2 |- (y e. U_x e. (A u. B)C <-> y e. (U_x e. A C u. U_x e. B C))
20	19	eqriv 1474	1 |- U_x e. (A u. B)C = (U_x e. A C u. U_x e. B C)

Syntax hints:   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  E.wrex 1646   u. cun 2045  U_ciun 2566

This theorem is referenced by:  oaabs 4252  kmlem11 4775

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-rex 1650  df-v 1812  df-un 2050  df-iun 2568

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