Theorem iununi 2616

Description: A relationship involving union and indexed union. Exercise 25 of [Enderton] p. 33.

Assertion

Ref	Expression
iununi	|- ((B = (/) -> A = (/)) <-> (A u. U.B) = U_x e. B (A u. x))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem iununi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imor 234	. . . . . 6 |- ((B = (/) -> A = (/)) <-> (-. B = (/) \/ A = (/)))
2		df-ne 1587	. . . . . . . . 9 |- (B =/= (/) <-> -. B = (/))
3		r19.45zv 2352	. . . . . . . . 9 |- (B =/= (/) -> (E.x e. B (y e. A \/ y e. x) <-> (y e. A \/ E.x e. B y e. x)))
4	2, 3	sylbir 201	. . . . . . . 8 |- (-. B = (/) -> (E.x e. B (y e. A \/ y e. x) <-> (y e. A \/ E.x e. B y e. x)))
5		n0i 2285	. . . . . . . . . 10 |- (y e. A -> -. A = (/))
6	5	con2i 97	. . . . . . . . 9 |- (A = (/) -> -. y e. A)
7		biorf 735	. . . . . . . . . . 11 |- (-. y e. A -> (y e. x <-> (y e. A \/ y e. x)))
8	7	rexbidv 1664	. . . . . . . . . 10 |- (-. y e. A -> (E.x e. B y e. x <-> E.x e. B (y e. A \/ y e. x)))
9		biorf 735	. . . . . . . . . 10 |- (-. y e. A -> (E.x e. B y e. x <-> (y e. A \/ E.x e. B y e. x)))
10	8, 9	bitr3d 530	. . . . . . . . 9 |- (-. y e. A -> (E.x e. B (y e. A \/ y e. x) <-> (y e. A \/ E.x e. B y e. x)))
11	6, 10	syl 10	. . . . . . . 8 |- (A = (/) -> (E.x e. B (y e. A \/ y e. x) <-> (y e. A \/ E.x e. B y e. x)))
12	4, 11	jaoi 341	. . . . . . 7 |- ((-. B = (/) \/ A = (/)) -> (E.x e. B (y e. A \/ y e. x) <-> (y e. A \/ E.x e. B y e. x)))
13	12	bicomd 521	. . . . . 6 |- ((-. B = (/) \/ A = (/)) -> ((y e. A \/ E.x e. B y e. x) <-> E.x e. B (y e. A \/ y e. x)))
14	1, 13	sylbi 199	. . . . 5 |- ((B = (/) -> A = (/)) -> ((y e. A \/ E.x e. B y e. x) <-> E.x e. B (y e. A \/ y e. x)))
15		elun 2173	. . . . . 6 |- (y e. (A u. x) <-> (y e. A \/ y e. x))
16	15	rexbii 1668	. . . . 5 |- (E.x e. B y e. (A u. x) <-> E.x e. B (y e. A \/ y e. x))
17	14, 16	syl6bbr 538	. . . 4 |- ((B = (/) -> A = (/)) -> ((y e. A \/ E.x e. B y e. x) <-> E.x e. B y e. (A u. x)))
18		elun 2173	. . . . 5 |- (y e. (A u. U.B) <-> (y e. A \/ y e. U.B))
19		eluni2 2507	. . . . . 6 |- (y e. U.B <-> E.x e. B y e. x)
20	19	orbi2i 255	. . . . 5 |- ((y e. A \/ y e. U.B) <-> (y e. A \/ E.x e. B y e. x))
21	18, 20	bitr 173	. . . 4 |- (y e. (A u. U.B) <-> (y e. A \/ E.x e. B y e. x))
22		eliun 2570	. . . 4 |- (y e. U_x e. B (A u. x) <-> E.x e. B y e. (A u. x))
23	17, 21, 22	3bitr4g 555	. . 3 |- ((B = (/) -> A = (/)) -> (y e. (A u. U.B) <-> y e. U_x e. B (A u. x)))
24	23	eqrdv 1473	. 2 |- ((B = (/) -> A = (/)) -> (A u. U.B) = U_x e. B (A u. x))
25		eleq2 1535	. . . . . . . . 9 |- ((A u. U.B) = U_x e. B (A u. x) -> (y e. (A u. U.B) <-> y e. U_x e. B (A u. x)))
26		eluni 2506	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. U.B <-> E.x(y e. x /\ x e. B))
27	26	orbi2i 255	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. A \/ y e. U.B) <-> (y e. A \/ E.x(y e. x /\ x e. B)))
28		ax-17 971	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. A -> A.x y e. A)
29	28	19.45 1090	. . . . . . . . . 10 |- (E.x(y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)) <-> (y e. A \/ E.x(y e. x /\ x e. B)))
30	27, 18, 29	3bitr4 183	. . . . . . . . 9 |- (y e. (A u. U.B) <-> E.x(y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)))
31		df-rex 1650	. . . . . . . . . 10 |- (E.x e. B y e. (A u. x) <-> E.x(x e. B /\ y e. (A u. x)))
32	22, 31	bitr 173	. . . . . . . . 9 |- (y e. U_x e. B (A u. x) <-> E.x(x e. B /\ y e. (A u. x)))
33	25, 30, 32	3bitr3g 554	. . . . . . . 8 |- ((A u. U.B) = U_x e. B (A u. x) -> (E.x(y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)) <-> E.x(x e. B /\ y e. (A u. x))))
34	33	biimpd 153	. . . . . . 7 |- ((A u. U.B) = U_x e. B (A u. x) -> (E.x(y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)) -> E.x(x e. B /\ y e. (A u. x))))
35		19.39 1082	. . . . . . 7 |- ((E.x(y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)) -> E.x(x e. B /\ y e. (A u. x))) -> E.x((y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)) -> (x e. B /\ y e. (A u. x))))
36		orc 269	. . . . . . . . 9 |- (y e. A -> (y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)))
37		pm3.26 319	. . . . . . . . 9 |- ((x e. B /\ y e. (A u. x)) -> x e. B)
38	36, 37	imim12i 18	. . . . . . . 8 |- (((y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)) -> (x e. B /\ y e. (A u. x))) -> (y e. A -> x e. B))
39	38	19.22i 1040	. . . . . . 7 |- (E.x((y e. A \/ (y e. x /\ x e. B)) -> (x e. B /\ y e. (A u. x))) -> E.x(y e. A -> x e. B))
40	34, 35, 39	3syl 20	. . . . . 6 |- ((A u. U.B) = U_x e. B (A u. x) -> E.x(y e. A -> x e. B))
41		19.37v 1303	. . . . . 6 |- (E.x(y e. A -> x e. B) <-> (y e. A -> E.x x e. B))
42	40, 41	sylib 198	. . . . 5 |- ((A u. U.B) = U_x e. B (A u. x) -> (y e. A -> E.x x e. B))
43	42	19.23adv 1214	. . . 4 |- ((A u. U.B) = U_x e. B (A u. x) -> (E.y y e. A -> E.x x e. B))
44		n0 2289	. . . 4 |- (-. A = (/) <-> E.y y e. A)
45		n0 2289	. . . 4 |- (-. B = (/) <-> E.x x e. B)
46	43, 44, 45	3imtr4g 553	. . 3 |- ((A u. U.B) = U_x e. B (A u. x) -> (-. A = (/) -> -. B = (/)))
47	46	a3d 75	. 2 |- ((A u. U.B) = U_x e. B (A u. x) -> (B = (/) -> A = (/)))
48	24, 47	impbi 157	1 |- ((B = (/) -> A = (/)) <-> (A u. U.B) = U_x e. B (A u. x))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980   =/= wne 1585  E.wrex 1646   u. cun 2045  (/)c0 2280  U.cuni 2503  U_ciun 2566

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-nul 2281  df-uni 2504  df-iun 2568

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