Theorem iunpw 2909

Description: The power class of an intersection in terms of indexed intersection. Part of Exercise 24(b) of [Enderton] p. 33.

Hypothesis

Ref	Expression
iunpw.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
iunpw	|- (E.x e. A x = U.A <-> P~U.A = U_x e. A P~x)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem iunpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 2079	. . . . . . . 8 |- (x = U.A -> (y (_ x <-> y (_ U.A))
2	1	biimprcd 156	. . . . . . 7 |- (y (_ U.A -> (x = U.A -> y (_ x))
3	2	r19.22sdv 1735	. . . . . 6 |- (y (_ U.A -> (E.x e. A x = U.A -> E.x e. A y (_ x))
4	3	com12 11	. . . . 5 |- (E.x e. A x = U.A -> (y (_ U.A -> E.x e. A y (_ x))
5		ssiun 2587	. . . . . 6 |- (E.x e. A y (_ x -> y (_ U_x e. A x)
6		uniiun 2596	. . . . . 6 |- U.A = U_x e. A x
7	5, 6	syl6ssr 2104	. . . . 5 |- (E.x e. A y (_ x -> y (_ U.A)
8	4, 7	impbid1 516	. . . 4 |- (E.x e. A x = U.A -> (y (_ U.A <-> E.x e. A y (_ x))
9		visset 1809	. . . . 5 |- y e. V
10	9	elpw 2400	. . . 4 |- (y e. P~U.A <-> y (_ U.A)
11		eliun 2565	. . . . 5 |- (y e. U_x e. A P~x <-> E.x e. A y e. P~x)
12		df-pw 2398	. . . . . . 7 |- P~x = {y | y (_ x}
13	12	abeq2i 1567	. . . . . 6 |- (y e. P~x <-> y (_ x)
14	13	rexbii 1665	. . . . 5 |- (E.x e. A y e. P~x <-> E.x e. A y (_ x)
15	11, 14	bitr 173	. . . 4 |- (y e. U_x e. A P~x <-> E.x e. A y (_ x)
16	8, 10, 15	3bitr4g 554	. . 3 |- (E.x e. A x = U.A -> (y e. P~U.A <-> y e. U_x e. A P~x))
17	16	eqrdv 1471	. 2 |- (E.x e. A x = U.A -> P~U.A = U_x e. A P~x)
18		ssid 2076	. . . . 5 |- U.A (_ U.A
19		eleq2 1532	. . . . . 6 |- (P~U.A = U_x e. A P~x -> (U.A e. P~U.A <-> U.A e. U_x e. A P~x))
20		iunpw.1	. . . . . . . 8 |- A e. V
21	20	uniex 2865	. . . . . . 7 |- U.A e. V
22	21	elpw 2400	. . . . . 6 |- (U.A e. P~U.A <-> U.A (_ U.A)
23	19, 22	syl5bbr 533	. . . . 5 |- (P~U.A = U_x e. A P~x -> (U.A (_ U.A <-> U.A e. U_x e. A P~x))
24	18, 23	mpbii 193	. . . 4 |- (P~U.A = U_x e. A P~x -> U.A e. U_x e. A P~x)
25		eliun 2565	. . . 4 |- (U.A e. U_x e. A P~x <-> E.x e. A U.A e. P~x)
26	24, 25	sylib 198	. . 3 |- (P~U.A = U_x e. A P~x -> E.x e. A U.A e. P~x)
27		elssuni 2521	. . . . . . 7 |- (x e. A -> x (_ U.A)
28		elpwi 2402	. . . . . . 7 |- (U.A e. P~x -> U.A (_ x)
29	27, 28	anim12i 333	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ U.A e. P~x) -> (x (_ U.A /\ U.A (_ x))
30		eqss 2073	. . . . . 6 |- (x = U.A <-> (x (_ U.A /\ U.A (_ x))
31	29, 30	sylibr 200	. . . . 5 |- ((x e. A /\ U.A e. P~x) -> x = U.A)
32	31	ex 373	. . . 4 |- (x e. A -> (U.A e. P~x -> x = U.A))
33	32	r19.22i 1729	. . 3 |- (E.x e. A U.A e. P~x -> E.x e. A x = U.A)
34	26, 33	syl 10	. 2 |- (P~U.A = U_x e. A P~x -> E.x e. A x = U.A)
35	17, 34	impbi 157	1 |- (E.x e. A x = U.A <-> P~U.A = U_x e. A P~x)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wrex 1643  Vcvv 1807   (_ wss 2043  P~cpw 2397  U.cuni 2498  U_ciun 2561

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-in 2047  df-ss 2049  df-pw 2398  df-uni 2499  df-iun 2563

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