Theorem iunon 3909

Description: The indexed union of a set of ordinal numbers B(x) is an ordinal number.

Hypotheses

Ref	Expression
iunon.1	|- A e. V
iunon.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
iunon	|- (A.x e. A B e. On -> U_x e. A B e. On)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem iunon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbra1 1687	. . . . . . 7 |- (A.x e. A B e. On -> A.xA.x e. A B e. On)
2		ax-17 971	. . . . . . 7 |- (y e. On -> A.x y e. On)
3		ra4 1694	. . . . . . . 8 |- (A.x e. A B e. On -> (x e. A -> B e. On))
4		eleq1a 1543	. . . . . . . 8 |- (B e. On -> (y = B -> y e. On))
5	3, 4	syl6 22	. . . . . . 7 |- (A.x e. A B e. On -> (x e. A -> (y = B -> y e. On)))
6	1, 2, 5	r19.23ad 1745	. . . . . 6 |- (A.x e. A B e. On -> (E.x e. A y = B -> y e. On))
7		abid 1465	. . . . . 6 |- (y e. {y | E.x e. A y = B} <-> E.x e. A y = B)
8	6, 7	syl5ib 206	. . . . 5 |- (A.x e. A B e. On -> (y e. {y | E.x e. A y = B} -> y e. On))
9	8	19.21aiv 1286	. . . 4 |- (A.x e. A B e. On -> A.y(y e. {y | E.x e. A y = B} -> y e. On))
10		hbab1 1466	. . . . 5 |- (z e. {y | E.x e. A y = B} -> A.y z e. {y | E.x e. A y = B})
11		ax-17 971	. . . . 5 |- (z e. On -> A.y z e. On)
12	10, 11	dfss2f 2060	. . . 4 |- ({y | E.x e. A y = B} (_ On <-> A.y(y e. {y | E.x e. A y = B} -> y e. On))
13	9, 12	sylibr 200	. . 3 |- (A.x e. A B e. On -> {y | E.x e. A y = B} (_ On)
14		iunon.1	. . . . 5 |- A e. V
15	14	abrexex 3860	. . . 4 |- {y | E.x e. A y = B} e. V
16	15	ssonuni 2995	. . 3 |- ({y | E.x e. A y = B} (_ On -> U.{y | E.x e. A y = B} e. On)
17	13, 16	syl 10	. 2 |- (A.x e. A B e. On -> U.{y | E.x e. A y = B} e. On)
18		iunon.2	. . 3 |- B e. V
19	18	dfiun2 2587	. 2 |- U_x e. A B = U.{y | E.x e. A y = B}
20	17, 19	syl5eqel 1552	1 |- (A.x e. A B e. On -> U_x e. A B e. On)

Syntax hints:   -> wi 3  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463  A.wral 1645  E.wrex 1646  Vcvv 1811   (_ wss 2047  U.cuni 2503  U_ciun 2566  Oncon0 2948

This theorem is referenced by:  oacl 4170  omcl 4171  oecl 4172  rankuni2 4690  rankval4 4702  alephon 4865

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain