Theorem iunn0 2607

Description: There is a non-empty class in an indexed collection B(x) iff the indexed union of them is non-empty.

Assertion

Ref	Expression
iunn0	|- (E.x e. A B =/= (/) <-> U_x e. A B =/= (/))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem iunn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0 2288	. . 3 |- (B =/= (/) <-> E.y y e. B)
2	1	rexbii 1668	. 2 |- (E.x e. A B =/= (/) <-> E.x e. A E.y y e. B)
3		df-rex 1650	. 2 |- (E.x e. A E.y y e. B <-> E.x(x e. A /\ E.y y e. B))
4		excom 1046	. . . 4 |- (E.xE.y(x e. A /\ y e. B) <-> E.yE.x(x e. A /\ y e. B))
5		exdistr 1309	. . . 4 |- (E.xE.y(x e. A /\ y e. B) <-> E.x(x e. A /\ E.y y e. B))
6		eliun 2570	. . . . . 6 |- (y e. U_x e. A B <-> E.x e. A y e. B)
7		df-rex 1650	. . . . . 6 |- (E.x e. A y e. B <-> E.x(x e. A /\ y e. B))
8	6, 7	bitr2 174	. . . . 5 |- (E.x(x e. A /\ y e. B) <-> y e. U_x e. A B)
9	8	exbii 1051	. . . 4 |- (E.yE.x(x e. A /\ y e. B) <-> E.y y e. U_x e. A B)
10	4, 5, 9	3bitr3 181	. . 3 |- (E.x(x e. A /\ E.y y e. B) <-> E.y y e. U_x e. A B)
11		ne0 2288	. . 3 |- (U_x e. A B =/= (/) <-> E.y y e. U_x e. A B)
12	10, 11	bitr4 176	. 2 |- (E.x(x e. A /\ E.y y e. B) <-> U_x e. A B =/= (/))
13	2, 3, 12	3bitr 177	1 |- (E.x e. A B =/= (/) <-> U_x e. A B =/= (/))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 958  E.wex 980   =/= wne 1585  E.wrex 1646  (/)c0 2280  U_ciun 2566

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-nul 2281  df-iun 2568

Copyright terms: Public domain