Theorem iunfi 4549

Description: The finite union of finite sets is finite. Exercise 13 of [Enderton] p. 144. This is the indexed union version of unifi 4538. Note that B depends on x, i.e. can be thought of as B(x).

Assertion

Ref	Expression
iunfi	|- ((E.n e. om A ~~ n /\ A.x e. A E.n e. om B ~~ n) -> E.n e. om U_x e. A B ~~ n)

Distinct variable groups:   x,n,A   B,n

Proof of Theorem iunfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unifi 4538	. . . 4 |- ((E.n e. om {y | E.x e. A y = B} ~~ n /\ A.z e. {y | E.x e. A y = B}E.n e. om z ~~ n) -> E.n e. om U.{y | E.x e. A y = B} ~~ n)
2		hbab1 1464	. . . . 5 |- (w e. {y | E.x e. A y = B} -> A.y w e. {y | E.x e. A y = B})
3		ax-17 969	. . . . 5 |- (w e. {y | E.x e. A y = B} -> A.z w e. {y | E.x e. A y = B})
4		ax-17 969	. . . . 5 |- (E.n e. om y ~~ n -> A.zE.n e. om y ~~ n)
5		ax-17 969	. . . . 5 |- (E.n e. om z ~~ n -> A.yE.n e. om z ~~ n)
6		breq1 2617	. . . . . 6 |- (y = z -> (y ~~ n <-> z ~~ n))
7	6	rexbidv 1661	. . . . 5 |- (y = z -> (E.n e. om y ~~ n <-> E.n e. om z ~~ n))
8	2, 3, 4, 5, 7	cbvralf 1793	. . . 4 |- (A.y e. {y | E.x e. A y = B}E.n e. om y ~~ n <-> A.z e. {y | E.x e. A y = B}E.n e. om z ~~ n)
9	1, 8	sylan2b 452	. . 3 |- ((E.n e. om {y | E.x e. A y = B} ~~ n /\ A.y e. {y | E.x e. A y = B}E.n e. om y ~~ n) -> E.n e. om U.{y | E.x e. A y = B} ~~ n)
10		fodomfi 4546	. . . . . . 7 |- ((E.n e. om A ~~ n /\ {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}:A-onto->ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}) -> ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} ~<_ A)
11		eqid 1473	. . . . . . . . 9 |- {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} = {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}
12	11	fnopab2g 3608	. . . . . . . 8 |- (A.x e. A B e. V <-> {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} Fn A)
13		fnforn 3668	. . . . . . . 8 |- ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} Fn A <-> {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}:A-onto->ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)})
14	12, 13	bitr 173	. . . . . . 7 |- (A.x e. A B e. V <-> {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}:A-onto->ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)})
15	10, 14	sylan2b 452	. . . . . 6 |- ((E.n e. om A ~~ n /\ A.x e. A B e. V) -> ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} ~<_ A)
16		rnopab2 3348	. . . . . 6 |- ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} = {y | E.x e. A y = B}
17	15, 16	syl5eqbrr 2644	. . . . 5 |- ((E.n e. om A ~~ n /\ A.x e. A B e. V) -> {y | E.x e. A y = B} ~<_ A)
18		domfi 4522	. . . . 5 |- ((E.n e. om A ~~ n /\ {y | E.x e. A y = B} ~<_ A) -> E.n e. om {y | E.x e. A y = B} ~~ n)
19	17, 18	syldan 467	. . . 4 |- ((E.n e. om A ~~ n /\ A.x e. A B e. V) -> E.n e. om {y | E.x e. A y = B} ~~ n)
20		relen 4360	. . . . . . . 8 |- Rel ~~
21	20	brrelexi 3203	. . . . . . 7 |- (B ~~ n -> B e. V)
22	21	a1i 8	. . . . . 6 |- (n e. om -> (B ~~ n -> B e. V))
23	22	r19.23aiv 1740	. . . . 5 |- (E.n e. om B ~~ n -> B e. V)
24	23	r19.20si 1703	. . . 4 |- (A.x e. A E.n e. om B ~~ n -> A.x e. A B e. V)
25	19, 24	sylan2 451	. . 3 |- ((E.n e. om A ~~ n /\ A.x e. A E.n e. om B ~~ n) -> E.n e. om {y | E.x e. A y = B} ~~ n)
26		r19.29 1753	. . . . . . . 8 |- ((A.x e. A E.n e. om B ~~ n /\ E.x e. A y = B) -> E.x e. A (E.n e. om B ~~ n /\ y = B))
27		breq1 2617	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = B -> (y ~~ n <-> B ~~ n))
28	27	rexbidv 1661	. . . . . . . . . . 11 |- (y = B -> (E.n e. om y ~~ n <-> E.n e. om B ~~ n))
29	28	biimparc 419	. . . . . . . . . 10 |- ((E.n e. om B ~~ n /\ y = B) -> E.n e. om y ~~ n)
30	29	a1i 8	. . . . . . . . 9 |- (x e. A -> ((E.n e. om B ~~ n /\ y = B) -> E.n e. om y ~~ n))
31	30	r19.23aiv 1740	. . . . . . . 8 |- (E.x e. A (E.n e. om B ~~ n /\ y = B) -> E.n e. om y ~~ n)
32	26, 31	syl 10	. . . . . . 7 |- ((A.x e. A E.n e. om B ~~ n /\ E.x e. A y = B) -> E.n e. om y ~~ n)
33	32	ex 373	. . . . . 6 |- (A.x e. A E.n e. om B ~~ n -> (E.x e. A y = B -> E.n e. om y ~~ n))
34	33	adantl 388	. . . . 5 |- ((E.n e. om A ~~ n /\ A.x e. A E.n e. om B ~~ n) -> (E.x e. A y = B -> E.n e. om y ~~ n))
35		abid 1463	. . . . 5 |- (y e. {y | E.x e. A y = B} <-> E.x e. A y = B)
36	34, 35	syl5ib 206	. . . 4 |- ((E.n e. om A ~~ n /\ A.x e. A E.n e. om B ~~ n) -> (y e. {y | E.x e. A y = B} -> E.n e. om y ~~ n))
37	36	r19.21aiv 1710	. . 3 |- ((E.n e. om A ~~ n /\ A.x e. A E.n e. om B ~~ n) -> A.y e. {y | E.x e. A y = B}E.n e. om y ~~ n)
38	9, 25, 37	sylanc 471	. 2 |- ((E.n e. om A ~~ n /\ A.x e. A E.n e. om B ~~ n) -> E.n e. om U.{y | E.x e. A y = B} ~~ n)
39		ax-17 969	. . . . 5 |- (x e. A -> A.n x e. A)
40		hbre1 1686	. . . . 5 |- (E.n e. om B ~~ n -> A.nE.n e. om B ~~ n)
41	39, 40	hbral 1683	. . . 4 |- (A.x e. A E.n e. om B ~~ n -> A.nA.x e. A E.n e. om B ~~ n)
42		dfiun2g 2581	. . . . . 6 |- (A.x e. A B e. V -> U_x e. A B = U.{y | E.x e. A y = B})
43	24, 42	syl 10	. . . . 5 |- (A.x e. A E.n e. om B ~~ n -> U_x e. A B = U.{y | E.x e. A y = B})
44	43	breq1d 2624	. . . 4 |- (A.x e. A E.n e. om B ~~ n -> (U_x e. A B ~~ n <-> U.{y | E.x e. A y = B} ~~ n))
45	41, 44	rexbid 1659	. . 3 |- (A.x e. A E.n e. om B ~~ n -> (E.n e. om U_x e. A B ~~ n <-> E.n e. om U.{y | E.x e. A y = B} ~~ n))
46	45	adantl 388	. 2 |- ((E.n e. om A ~~ n /\ A.x e. A E.n e. om B ~~ n) -> (E.n e. om U_x e. A B ~~ n <-> E.n e. om U.{y | E.x e. A y = B} ~~ n))
47	38, 46	mpbird 196	1 |- ((E.n e. om A ~~ n /\ A.x e. A E.n e. om B ~~ n) -> E.n e. om U_x e. A B ~~ n)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  {cab 1461  A.wral 1642  E.wrex 1643  Vcvv 1807  U.cuni 2498  U_ciun 2561   class class class wbr 2614  {copab 2661  omcom 3126  ran crn 3166   Fn wfn 3172  -onto->wfo 3175   ~~ cen 4354   ~<_ cdom 4355

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-er 4251  df-en 4357  df-dom 4358

Copyright terms: Public domain